Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma série numérica e queremos descobrir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A série que estamos analisando é:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre testes de convergência de séries, que nos ajudam a determinar o comportamento das séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observe o termo geral da série:
Para valores grandes de , o termo no denominador vai dominar o , então podemos aproximar:

Passo 3

Agora, temos uma versão simplificada do termo geral:
Vamos analisar o comportamento dessa expressão para grande. O numerador cresce de forma exponencial, enquanto o denominador cresce de forma linear. Isso significa que, conforme aumenta, cresce muito mais rápido que , fazendo com que tenda para infinito:

Passo 4

Como o limite do termo geral não tende a zero, mas sim ao infinito, podemos aplicar o Teste da Divergência (ou Teste do Termo Geral), que diz:
Se , então a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

Exercícios relacionados

Calcule os limites a seguir:
(1)
Seja a curva em descrita por: e . Mostre que a curva está contida no parabolóide e determine a reta tangente e o plano normal à curva no ponto correspondente a .
Calcule os limites a seguir:
(q)
Admitindo as operações possíveis e considerando constante, prove as seguintes regras de derivação para o operador Gradiente:
(a) Linear: .