Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma série numérica e queremos descobrir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A série que estamos analisando é:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre testes de convergência de séries, que nos ajudam a determinar o comportamento das séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observe o termo geral da série:
Para valores grandes de
, o termo
no denominador vai dominar o
, então podemos aproximar:
Passo 3
Agora, temos uma versão simplificada do termo geral:
Vamos analisar o comportamento dessa expressão para
grande. O numerador
cresce de forma exponencial, enquanto o denominador
cresce de forma linear. Isso significa que, conforme
aumenta,
cresce muito mais rápido que
, fazendo com que
tenda para infinito:
Passo 4
Como o limite do termo geral
não tende a zero, mas sim ao infinito, podemos aplicar o Teste da Divergência (ou Teste do Termo Geral), que diz:
Se
, então a série
diverge.
Resposta
A série
é divergente.
Exercícios relacionados
Calcule os limites a seguir:
(1)
(1)
Seja
a curva em
descrita por:
e
. Mostre que a curva
está contida no parabolóide
e determine a reta tangente e o plano normal à curva no ponto correspondente a
.
Calcule os limites a seguir:
(q)
(q)
Admitindo as operações possíveis e considerando
constante, prove as seguintes regras de derivação para o operador Gradiente:
(a) Linear: .
(a) Linear: