Seja uma garrafa de refrigerante cilíndrica (
e d=8 cm) feita de polietileno tereftalato (PET) contendo uma bebida gaseificada com
(
,
). As paredes da garrafa têm uma espessura de 0,27 (μm) e a massa específica do PET é
. Uma vez que o
é parcialmente solúvel no PET, ocorre a difusão através das paredes ao longo do tempo (
).
Admitindo que a espessura da garrafa é muito pequena, despreze os efeitos de curvatura e encontre uma expressão para o perfil de concentração através das paredes.
Admitindo que a espessura da garrafa é muito pequena, despreze os efeitos de curvatura e encontre uma expressão para o perfil de concentração através das paredes.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma geral no que a questão está pedindo. Temos uma garrafa de refrigerante cilíndrica feita de PET, que contém uma bebida gaseificada com dióxido de carbono (CO₂). A pergunta quer que a gente encontre uma expressão para como a concentração de CO₂ varia através das paredes da garrafa ao longo do tempo, considerando que o CO₂ pode difundir pelo PET. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de difusão, especificamente a Lei de Fick, e entender como a concentração se comporta em um material através do qual uma substância está se movendo.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que a espessura da parede da garrafa é muito pequena (0,27 μm) e estamos desprezando os efeitos de curvatura. Isso significa que podemos simplificar nosso problema para um caso de difusão plana, como se estivéssemos olhando para uma placa plana em vez de um cilindro.
Passo 3
Como queremos encontrar o perfil de concentração, vamos usar a Lei de Fick da Difusão. Essa lei nos diz que o fluxo de difusão (quantidade de substância que passa por uma área por unidade de tempo) é proporcional ao gradiente de concentração. Matematicamente, é expressa como:
Onde:
- $ J $ é o fluxo de difusão,
- $ D $ é o coeficiente de difusão,
- $ \frac{dc}{dx} $ é o gradiente de concentração.
Passo 4
Assumindo que estamos em estado estacionário (ou seja, a concentração não está mudando com o tempo) e que a espessura da parede é muito pequena, podemos dizer que o gradiente de concentração é constante através da parede. Além disso, como a garrafa é cilíndrica mas estamos desprezando a curvatura, podemos tratar a difusão como se fosse em uma barra plana.
Passo 5
Com essas considerações, podemos integrar a equação da Lei de Fick para encontrar a concentração $ c(x) $ em função da posição $ x $ através da parede:
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Para determinar a constante $ C $, usamos as condições de contorno. Vamos considerar que em $ x = 0 $ (um lado da parede) a concentração é $ c_0 $ e em $ x = L $ (o outro lado da parede) a concentração é $ c_L $. Aplicando essas condições:
Para $ x = 0 $:
Para $ x = L $:
Podemos resolver para $ J $:
Substituindo de volta na expressão para $ c(x) $:
Resposta
A variação da concentração de CO₂ através das paredes da garrafa é linear e pode ser expressa por:
Onde:
- $ c(x) $ é a concentração em uma posição $ x $ dentro da parede,
- $ c_0 $ é a concentração no ponto inicial ($ x = 0 $),
- $ c_L $ é a concentração no ponto final ($ x = L $),
- $ L $ é a espessura total da parede.