Seja uma garrafa de refrigerante cilíndrica (
e d=8 cm) feita de polietileno tereftalato (PET) contendo uma bebida gaseificada com
(
,
). As paredes da garrafa têm uma espessura de 0,27 (μm) e a massa específica do PET é
. Uma vez que o
é parcialmente solúvel no PET, ocorre a difusão através das paredes ao longo do tempo (
).
Admitindo que o fluxo de
é aproximadamente constante ao longo do tempo, ao fim de quanto tempo o refrigerante perdeu
de
? Faça o cálculo para a situação a e b. Admita que a solubilidade do
no PET a 3 bar é igual a
de PET.
Admitindo que o fluxo de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre como o dióxido de carbono (CO₂) escapa de uma garrafa de refrigerante feita de PET (polietileno tereftalato). A gente precisa descobrir quanto tempo leva para o refrigerante perder 10% do CO₂ que tá dentro dele. Pra resolver isso, a gente vai usar conceitos de difusão, que é o processo pelo qual as moléculas se movem de áreas de maior concentração pra áreas de menor concentração. Vamos precisar calcular a quantidade de CO₂ que sai da garrafa ao longo do tempo, usando a Lei de Fick de difusão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as dimensões da garrafa pra calcular a área pela qual o CO₂ vai escapar. A garrafa é cilíndrica, com:
- Comprimento (L): 30 cm
- Diâmetro (d): 8 cm
A fórmula da área lateral de um cilindro é:
Convertendo as medidas para metros:
- Comprimento: 30 cm = 0,3 m
- Diâmetro: 8 cm = 0,08 m
Calculando a área:
Passo 3
Agora, vamos usar a Lei de Fick para determinar o fluxo de CO₂ através das paredes da garrafa. A Lei de Fick é dada por:
Onde:
- $ J $ é o fluxo (quantidade de massa que passa por unidade de área por tempo)
- $ D $ é o coeficiente de difusão (
) - $ \Delta C $ é a diferença de concentração de CO₂ entre o interior e o exterior da garrafa
- $ \Delta x $ é a espessura da parede da garrafa
Precisamos calcular $ \Delta C $. Sabemos que a solubilidade do CO₂ no PET é
a 3 bar. Além disso, a pressão interna é de 3 bar, então podemos considerar:
A espessura $ \Delta x $ da parede é de 0,27 μm, que convertendo para metros fica:
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula da Lei de Fick para encontrar o fluxo $ J $:
Esse valor parece extremamente alto, então vamos verificar as unidades e os cálculos novamente. Parece que houve um exagero na diferença de concentração. Na verdade, a diferença de concentração deve considerar a quantidade de CO₂ dentro da garrafa em relação à solubilidade. Vamos ajustar isso.
Considerando que o refrigerante tem 7 g de CO₂ por dm³, e o volume da garrafa deve ser calculado para determinar a quantidade total de CO₂.
Passo 5
Vamos calcular o volume da garrafa para encontrar a quantidade total de CO₂ presente inicialmente.
Primeiro, calculamos o volume do cilindro:
A quantidade total de CO₂ inicialmente é:
Queremos que 10% desse CO₂ escape, ou seja, 0,01057 g.
Passo 6
Agora, vamos relacionar a quantidade de CO₂ que escapa com o fluxo $ J $ e a área $ A $.
A massa que escapa por segundo é:
Rearranjando para encontrar o tempo $ t $:
Usando a quantidade que queremos escapar $ dm = 0{,}01057 , g $, e a área $ A \approx 0{,}0754 , m² $, precisamos recalcular o fluxo $ J $ corretamente.
Vamos considerar que:
Substituindo os valores:
Ainda assim, esse valor é irrealisticamente alto, indicando que devemos revisar a abordagem. Uma forma mais adequada é usar a equação de difusão para fluxo constante:
Rearranjando para encontrar o tempo:
Substituindo os valores:
Calculando o denominador:
Agora, calculando $ t $:
Esse valor ainda é irrealistamente baixo, indicando que há um erro na aplicação dos conceitos. A discrepância vem da interpretação da solubilidade e da concentração. Vamos ajustar.
Passo 7
Vamos reconsiderar a diferença de concentração. A solubilidade $ S $ é dada como
, mas a concentração inicial de CO₂ é 7 g/dm³, que é igual a 7000 g/m³. Portanto, a diferença de concentração $ \Delta C $ para 10% de perda é:
Agora, recalculamos o tempo usando a equação:
Onde:
- $ m = 700 , g/m³ \times V $, mas como queremos 10%, já consideramos diretamente.
Rearranjando corretamente os termos:
Na verdade, a quantidade de massa que queremos que escape é 10% da massa total de CO₂ no PET. Para isso, retomamos o volume do PET e a solubilidade para calcular a massa total:
Precisamos calcular o volume da parede $ V_{pet} $:
A espessura da parede é $ t = 0{,}27 , \mum = 0{,}27 \times 10^{-6} , m $
Volume da parede $ V_{pet} $:
Massa total de CO₂ solúvel no PET:
Queremos 10% disso:
Agora, usamos a equação:
Substituindo os valores:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então,
Esse valor ainda é extremamente baixo, o que indica que nossa abordagem pode não estar considerando corretamente os parâmetros físicos do problema. É possível que haja uma confusão entre as unidades ou a interpretação da solubilidade e concentração.
Passo 8
Vamos reconsiderar toda a abordagem e usar uma fórmula simplificada para a difusão:
Onde:
- $ \Delta x $ é a espessura da parede
- $ D $ é o coeficiente de difusão
- $ C_0 $ é a concentração inicial
- $ C $ é a concentração final
Queremos que 10% do CO₂ escape, então $ C = 0{,}90 \times C_0 $
Substituindo os valores:
Calculando cada parte:
Então,
Ainda assim, esse tempo é impraticavelmente pequeno, indicando que há um erro fundamental na aplicação das fórmulas ou na interpretação dos dados fornecidos.
Resposta
Após uma análise detalhada e considerando os dados fornecidos, o tempo calculado para que o refrigerante perca 10% do CO₂ é aproximadamente
segundos. Contudo, esse resultado é fisicamente irrealisticamente baixo, indicando que pode haver uma inconsistência nos dados ou na aplicação dos conceitos de difusão para este problema específico.