Seja uma garrafa de refrigerante cilíndrica ( L=30 cm e d=8 cm) feita de polietileno tereftalato (PET) contendo uma bebida gaseificada com CO2( C=7 g de CO2 / dm^3, P=3 bar). As paredes da garrafa têm uma espessura de 0,27 (μm) e a massa específica do PET é 1,5 (g/cm^3). Uma vez que o CO2 é parcialmente solúvel no PET, ocorre a difusão através das paredes ao longo do tempo ( DCO2 PET=2 times 10^-3 m^2 / s).
Admitindo que o fluxo de CO2 é aproximadamente constante ao longo do tempo, ao fim de quanto tempo o refrigerante perdeu 10% de CO2? Faça o cálculo para a situação a e b. Admita que a solubilidade do CO2 no PET a 3 bar é igual a 10^4 g CO2 / m^3 de PET.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre como o dióxido de carbono (CO₂) escapa de uma garrafa de refrigerante feita de PET (polietileno tereftalato). A gente precisa descobrir quanto tempo leva para o refrigerante perder 10% do CO₂ que tá dentro dele. Pra resolver isso, a gente vai usar conceitos de difusão, que é o processo pelo qual as moléculas se movem de áreas de maior concentração pra áreas de menor concentração. Vamos precisar calcular a quantidade de CO₂ que sai da garrafa ao longo do tempo, usando a Lei de Fick de difusão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões da garrafa pra calcular a área pela qual o CO₂ vai escapar. A garrafa é cilíndrica, com:
  • Comprimento (L): 30 cm
  • Diâmetro (d): 8 cm
A fórmula da área lateral de um cilindro é:
A = pi times d times L
Convertendo as medidas para metros:
  • Comprimento: 30 cm = 0,3 m
  • Diâmetro: 8 cm = 0,08 m
Calculando a área:
A = pi times 0,08 times 0,3 approx 0,0754 , m² ²

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei de Fick para determinar o fluxo de CO₂ através das paredes da garrafa. A Lei de Fick é dada por:
J = D times De
Onde:
  • $ J $ é o fluxo (quantidade de massa que passa por unidade de área por tempo)
  • $ D $ é o coeficiente de difusão ( J ²)
  • $ \Delta C $ é a diferença de concentração de CO₂ entre o interior e o exterior da garrafa
  • $ \Delta x $ é a espessura da parede da garrafa
Precisamos calcular $ \Delta C $. Sabemos que a solubilidade do CO₂ no PET é D ³ a 3 bar. Além disso, a pressão interna é de 3 bar, então podemos considerar:
2 times 10^-3 , m²/s³
A espessura $ \Delta x $ da parede é de 0,27 μm, que convertendo para metros fica:
De

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula da Lei de Fick para encontrar o fluxo $ J $:
J ²
Esse valor parece extremamente alto, então vamos verificar as unidades e os cálculos novamente. Parece que houve um exagero na diferença de concentração. Na verdade, a diferença de concentração deve considerar a quantidade de CO₂ dentro da garrafa em relação à solubilidade. Vamos ajustar isso.
Considerando que o refrigerante tem 7 g de CO₂ por dm³, e o volume da garrafa deve ser calculado para determinar a quantidade total de CO₂.

Passo 5

Vamos calcular o volume da garrafa para encontrar a quantidade total de CO₂ presente inicialmente.
Primeiro, calculamos o volume do cilindro:
V = pi times ( d2 )^2 times L = pi times ( 0,082 )^2 times 0,3 approx 0,00151 , m³ ³
A quantidade total de CO₂ inicialmente é:
mtotal = C times V = 7 , g/dm³ times 10 , dm³/m³ times 0,00151 , m³ approx 0,1057 , g ³³³³
Queremos que 10% desse CO₂ escape, ou seja, 0,01057 g.

Passo 6

Agora, vamos relacionar a quantidade de CO₂ que escapa com o fluxo $ J $ e a área $ A $.
A massa que escapa por segundo é:
J
Rearranjando para encontrar o tempo $ t $:
A
Usando a quantidade que queremos escapar $ dm = 0{,}01057 , g $, e a área $ A \approx 0{,}0754 , m² $, precisamos recalcular o fluxo $ J $ corretamente.
Vamos considerar que:
dmdt = J times A
Substituindo os valores:
t ²
Ainda assim, esse valor é irrealisticamente alto, indicando que devemos revisar a abordagem. Uma forma mais adequada é usar a equação de difusão para fluxo constante:
t = dmJ times A
Rearranjando para encontrar o tempo:
dm = 0,01057 , g
Substituindo os valores:
A approx 0,0754 , m²
Calculando o denominador:
J ²
Agora, calculando $ t $:
J = D times S times PDe
Esse valor ainda é irrealistamente baixo, indicando que há um erro na aplicação dos conceitos. A discrepância vem da interpretação da solubilidade e da concentração. Vamos ajustar.

Passo 7

Vamos reconsiderar a diferença de concentração. A solubilidade $ S $ é dada como S ³, mas a concentração inicial de CO₂ é 7 g/dm³, que é igual a 7000 g/m³. Portanto, a diferença de concentração $ \Delta C $ para 10% de perda é:
10^4 , g/m³³
Agora, recalculamos o tempo usando a equação:
De
Onde:
  • $ m = 700 , g/m³ \times V $, mas como queremos 10%, já consideramos diretamente.
Rearranjando corretamente os termos:
Na verdade, a quantidade de massa que queremos que escape é 10% da massa total de CO₂ no PET. Para isso, retomamos o volume do PET e a solubilidade para calcular a massa total:
De
Precisamos calcular o volume da parede $ V_{pet} $:
A espessura da parede é $ t = 0{,}27 , \mum = 0{,}27 \times 10^{-6} , m $
Volume da parede $ V_{pet} $:
t = m times De³
Massa total de CO₂ solúvel no PET:
m = 700 , g/m³ times V
Queremos 10% disso:
mtotal = S times Vpet = 10^4 times Vpet
Agora, usamos a equação:
Vpet
Substituindo os valores:
t = 0,27 , mum = 0,27 times 10^-6 , m
Calculando o numerador:
Vpet
Calculando o denominador:
Vpet = A times t = 0,0754 times 0,27 times 10^-6 approx 2,036 times 10^-8 , m³
Então,
mtotal = S times Vpet = 10^4 times 2,036 times 10^-8 approx 2,036 times 10^-4 , g
Esse valor ainda é extremamente baixo, o que indica que nossa abordagem pode não estar considerando corretamente os parâmetros físicos do problema. É possível que haja uma confusão entre as unidades ou a interpretação da solubilidade e concentração.

Passo 8

Vamos reconsiderar toda a abordagem e usar uma fórmula simplificada para a difusão:
t = (De
Onde:
  • $ \Delta x $ é a espessura da parede
  • $ D $ é o coeficiente de difusão
  • $ C_0 $ é a concentração inicial
  • $ C $ é a concentração final
Queremos que 10% do CO₂ escape, então $ C = 0{,}90 \times C_0 $
Substituindo os valores:
De
Calculando cada parte:
D ²
C0
Então,
C
Ainda assim, esse tempo é impraticavelmente pequeno, indicando que há um erro fundamental na aplicação das fórmulas ou na interpretação dos dados fornecidos.

Resposta

Após uma análise detalhada e considerando os dados fornecidos, o tempo calculado para que o refrigerante perca 10% do CO₂ é aproximadamente 4,05 times 10^-13 segundos. Contudo, esse resultado é fisicamente irrealisticamente baixo, indicando que pode haver uma inconsistência nos dados ou na aplicação dos conceitos de difusão para este problema específico.

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