Em um determinado sistema, tem-se gás Hélio a 25 C e 4 bar contido no interior de um cilindro de vidro com 200 mm de diâmetro interno e espessura de parede igual a 10 mm. Para esta situação: Dados: D He-vidro (25 C)=5 times 10^-14 m^2 / s, solubilidade do He no vidro a 25 C H He-vidro =4,5 times 10^-4 kmol /(m^3 bar).
Determine a taxa de perda de massa de Hélio por unidade de comprimento do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro de vidro que contém gás Hélio a 25°C e 4 bar. O cilindro tem um diâmetro interno de 200 mm e a parede do vidro tem uma espessura de 10 mm. Queremos descobrir qual é a taxa de perda de massa de Hélio por unidade de comprimento do cilindro.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de difusão de gases através de materiais sólidos. Especificamente, vamos aplicar a Lei de Fick para calcular como o Hélio se difunde através da parede de vidro. Precisamos dos valores da difusividade do Hélio no vidro e da sua solubilidade no vidro, que já estão fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. O Hélio está dentro do cilindro e começa a se difundir através da parede de vidro para fora. Queremos saber quanta massa de Hélio está sendo perdida por unidade de comprimento do cilindro por unidade de tempo.
A Lei de Fick nos ajuda a relacionar a taxa de difusão com a diferença de concentração e a área pela qual a difusão ocorre. A equação básica da Lei de Fick para fluxo por unidade de área é:
J = -D cdot dCdx
Onde:
  • $ J $ é o fluxo de massa (kg/m²·s)
  • $ D $ é a difusividade (m²/s)
  • $ \frac{dC}{dx} $ é o gradiente de concentração

Passo 3

Vamos adaptar essa equação para o nosso caso. Como a parede do cilindro é cilíndrica, precisamos considerar a geometria. A taxa de fluxo de massa ($ \dot{m} dotm L $) do cilindro pode ser calculada usando:
L
Mas como queremos por unidade de comprimento, $ L = 1 $. Então:
dotm = 2 pi r L J
Onde $ r $ é o raio interno do cilindro.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar o raio interno do cilindro. O diâmetro interno é 200 mm, então o raio é metade disso:
r = 200 mm2 = 100 mm = 0,1 m

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o gradiente de concentração ($ \frac{dC}{dx} dCdx çã C_i $) pode ser relacionada à pressão usando a solubilidade:
Ci
Onde:
  • $ H $ é a solubilidade do Hélio no vidro ($ 4,5 \times 10^{-4} , kmol/(m^3 \cdot bar) $)
  • $ P $ é a pressão do Hélio ($ 4 , bar $)
Então:
Ci = H cdot P
Como fora do cilindro a concentração de Hélio é praticamente zero ($ C_o = 0 $), o gradiente de concentração é:
H
Aqui, $ \Delta x $ é a espessura da parede ($ 10 , mm = 0,01 , m $).

Passo 6

Agora, usando a Lei de Fick, calculamos o fluxo de massa ($ J $):
J
O sinal negativo indica que a difusão ocorre do interior para o exterior.

Passo 7

Vamos agora calcular a taxa de perda de massa por unidade de comprimento do cilindro ($ \dot{m} $):
dotm

Passo 8

Para converter de kmol para kg, usamos o peso molecular do Hélio ($ M_{He} = 4 , kg/kmol $):
MHe = 4 , kg/kmol

Resposta

A taxa de perda de massa de Hélio por unidade de comprimento do cilindro é aproximadamente $ 2,26 \times 10^{-14} , kg/(m \cdot s) $.

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