Seja h(x)= 2 x^2-x & , se x <= 0 ; x^3-3 x^2+2 x & , se 02
Calcule, se existirem, os limites:
b) lim x 0 h(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes chamada . O enunciado quer que a gente calcule o limite de quando se aproxima de 0, ou seja, .
Conteúdo da matéria: Limites de funções definidas por partes.
O que vamos precisar:
  • Entender como calcular limites laterais (da esquerda e da direita).
  • Saber identificar qual parte da função usar para cada lado do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um limite lateral. Quando a gente calcula , na verdade a gente está vendo o que acontece com quando se aproxima de 0 pela esquerda (valores menores que 0) e pela direita (valores maiores que 0).

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando h(x) = 2x^2 - x se aproxima de 0 vindo dos valores menores que 0 ( limx 0^- h(x) = 2(0)^2 - 0 = 0 ).
Nessa faixa, a função é definida por:
Então, substituímos por 0 nessa expressão:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando h(x) = x^3 - 3x^2 + 2x se aproxima de 0 vindo dos valores maiores que 0 ( limx 0^+ h(x) = (0)^3 - 3(0)^2 + 2(0) = 0 ).
Nessa faixa, a função é definida por:
Substituímos por 0 nessa expressão:

Passo 5

Agora que temos os limites laterais, vamos ver se eles são iguais. Se forem, o limite geral existe e é igual a esse valor comum.
limx 0^- h(x) = 0
limx 0^+ h(x) = 0
Como ambos os limites laterais são iguais a 0, podemos concluir que:

Resposta

limx 0 h(x) = 0

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