Determine a derivad a da função
g(x)=integral1^x^3(1+t^2)^5 d t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
g(x) = integral1^x^3 (1 + t^2)^5 dt
E queremos encontrar a derivada dessa função em relação a . Para isso, vamos usar o conceito de Cálculo Integral e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Para encontrar a derivada de uma integral cujo limite superior é uma função de ddx ( integrala^u(x) f(t) dt ) = f(u(x)) cdot u'(x) , usamos o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a Regra da Cadeia. O teorema nos diz que:
Aqui, é uma constante (no caso, 1) e é uma função de (no caso, ).

Passo 3

Aplicando o teorema à nossa função:
g(x) = integral1^x^3 (1 + t^2)^5 dt
Temos:
g'(x) = (1 + (x^3)^2)^5 cdot ddx(x^3)

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. Função dentro da integral avaliada em 1 + (x^3)^2 = 1 + x^6 :
ddx(x^3) = 3x^2
  1. Derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, juntando tudo:
g'(x) = (1 + x^6)^5 cdot 3x^2
Podemos reescrever para ficar mais organizado:
g'(x) = 3x^2 (1 + x^6)^5

Resposta

A derivada da função g'(x) = 3x^2 (1 + x^6)^5 é

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