Seja A in M2 times 2, com A^t=A, sendo lambda1=1 um autovalor e v=(1,3)^t o autovetor associado.
  1. Determine A neq I que satisfaça essas condições.
  2. Se lambda2=9 é outro autovalor de A, determine um autovetor de A associado a lambda2.
  3. Determine uma matriz B tal que B^2=A

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para trabalhar com uma matriz 1 3 de dimensão que é simétrica (isto é, ). Sabemos que um dos autovalores de é e o autovetor associado é . Para resolver as questões, vamos precisar entender sobre matrizes simétricas, autovalores, autovetores e a relação entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica pode ser diagonalizada, ou seja, existe uma matriz inversível tal que , onde é uma matriz diagonal com os autovalores de na diagonal. Sabendo que é um autovetor associado a , podemos usar essa informação para construir a matriz .

Passo 3

Como 1 3 é um autovetor de A v = lambda1 v implies A 1 3 = 1 cdot 1 3 = 1 3 com autovalor A = a & b b & c , temos que:
Isso nos dá um sistema de equações para os elementos de . Suponha que:
Pois é simétrica, então o elemento fora da diagonal é igual ao .

Passo 4

Multiplicando a & b b & c 1 3 = a cdot 1 + b cdot 3 b cdot 1 + c cdot 3 = a + 3b b + 3c pelo vetor 1 3 :
a + 3b = 1 b + 3c = 3
Igualando ao resultado , temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , e :
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
Como a matriz pode ter infinitas soluções com base nesses valores, escolhemos um valor para que nos ajude a diferenciar da identidade .

Passo 6

Para garantir que A = -2 & 1 1 & 23 , vamos escolher diferente de 0. Por exemplo, suponha que :
Então, a matriz fica:

Resposta

A matriz A = -2 & 1 1 & 23 que satisfaz as condições dadas é:

Exercícios relacionados