Seja
, com
, sendo
um autovalor e
o autovetor associado.
- Determine
que satisfaça essas condições.
- Se
é outro autovalor de
, determine um autovetor de
associado a
.
- Determine uma matriz
tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para trabalhar com uma matriz
de dimensão
que é simétrica (isto é,
). Sabemos que um dos autovalores de
é
e o autovetor associado é
. Para resolver as questões, vamos precisar entender sobre matrizes simétricas, autovalores, autovetores e a relação entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica
pode ser diagonalizada, ou seja, existe uma matriz
inversível tal que
, onde
é uma matriz diagonal com os autovalores de
na diagonal. Sabendo que
é um autovetor associado a
, podemos usar essa informação para construir a matriz
.
Passo 3
Como
é um autovetor de
com autovalor
, temos que:
Isso nos dá um sistema de equações para os elementos de
. Suponha que:
Pois
é simétrica, então o elemento fora da diagonal
é igual ao
.
Passo 4
Multiplicando
pelo vetor
:
Igualando ao resultado
, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
,
e
:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
Como a matriz
pode ter infinitas soluções com base nesses valores, escolhemos um valor para
que nos ajude a diferenciar
da identidade
.
Passo 6
Para garantir que
, vamos escolher
diferente de 0. Por exemplo, suponha que
:
Então, a matriz
fica:
Resposta
A matriz
que satisfaz as condições dadas é: