Verique se os seguintes subconjuntos são subespaços de
:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Isso envolve entender o que é um subespaço vetorial e quais condições ele precisa satisfazer. Vamos precisar lembrar das três condições principais para um conjunto ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Precisamos ver se esse vetor satisfaz a condição
.
Substituindo os valores:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Sejam
e
em
. Então, temos:
A soma:
Vamos verificar se
:
Está tudo certo, então
também pertence a
.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos qualquer vetor em
por um número real
, o resultado também deve estar em
.
Pegamos um vetor
em
, com
, e multiplicamos por
:
Vamos verificar se
:
De novo, está tudo certo. Então,
pertence a
.
Resposta
Como o conjunto
satisfaz todas as três condições necessárias (contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar),
é, de fato, um subespaço de
.