Verique se os seguintes subconjuntos são subespaços de R^3 :
c) W=(x, y, z) in R^3 mid x=2 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto é um subespaço de . Isso envolve entender o que é um subespaço vetorial e quais condições ele precisa satisfazer. Vamos precisar lembrar das três condições principais para um conjunto ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em 0 = 2 times 0 implies 0 = 0 . O vetor zero em é . Precisamos ver se esse vetor satisfaz a condição .
Substituindo os valores:
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se x1 = 2y1 e x2 = 2y2 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) , a soma deles também deve estar em x1 + x2 = 2y1 + 2y2 = 2(y1 + y2) .
Sejam e em . Então, temos:
A soma:
Vamos verificar se :
Está tudo certo, então também pertence a .

Passo 4

Por último, vamos ver se ku = (k x, k y, k z) é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos qualquer vetor em k x = k times 2y = 2(k y) por um número real , o resultado também deve estar em .
Pegamos um vetor em , com , e multiplicamos por :
Vamos verificar se :
De novo, está tudo certo. Então, pertence a .

Resposta

Como o conjunto satisfaz todas as três condições necessárias (contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar), é, de fato, um subespaço de .

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