Exercício 9 Seja
, com
e autovalores distintos
e
. Se
e
.
- Quais são as possibilidades para o polinômio característico de T?
-
polinômio minimal de
pode ser
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma transformação linear
em um espaço vetorial
de dimensão 6. Temos dois autovalores distintos,
e
, com suas respectivas dimensões dos espaços próprios:
e
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre polinômios característicos e mínimos, para responder as duas perguntas.
Passo 2
Primeira pergunta: Quais são as possibilidades para o polinômio característico de
?
Primeiro, lembra que o polinômio característico de uma transformação linear
é dado por
, e seus fatores lineares correspondem aos autovalores de
. Já que temos os autovalores
e
, o polinômio característico será um produto desses fatores elevados a suas respectivas multiplicidades algébricas.
Passo 3
A multiplicidade algébrica de um autovalor é o número de vezes que ele aparece como raiz do polinômio característico. Sabemos que a soma das multiplicidades algébricas deve ser igual à dimensão do espaço, que é 6.
Temos:
A dimensão dos espaços próprios é igual à multiplicidade geométrica, que é sempre menor ou igual à multiplicidade algébrica. Dessa forma, a multiplicidade algébrica de
é pelo menos 3 e a de
é pelo menos 1.
Passo 4
Vamos chamar as multiplicidades algébricas de
e
de
e
, respectivamente. Sabemos que:
E:
Então, as possíveis combinações são:
-
e -
e -
e
Passo 5
Agora, vamos escrever o polinômio característico para cada caso:
- Se
e :
- Se
e :
- Se
e :
Passo 6
Segunda pergunta: O polinômio minimal de
pode ser
?
O polinômio minimal é o menor polinômio monico que annula a transformação
. Para que
seja o polinômio minimal, cada fator deve aparecer apenas uma vez, ou seja, cada autovalor tem multiplicidade 1 no polinômio minimal.
Passo 7
No entanto, observamos que a multiplicidade geométrica de
é 3, o que significa que a multiplicidade algébrica
é pelo menos 3. Se o polinômio minimal tivesse
apenas uma vez, isso implicaria que o espaço próprio associado a
seria de dimensão igual à multiplicidade algébrica, o que não é o caso aqui. Portanto, o polinômio minimal deve ter
elevado a pelo menos 3.
Resposta
- As possibilidades para o polinômio característico de
são: - Não, o polinômio minimal de
não pode ser .