Exercício 9 Seja T: V V, com dim V=6 e autovalores distintos lambda e mu. Se dim Slambda=3 e dim Smu=1.
  1. Quais são as possibilidades para o polinômio característico de T?
  2. O polinômio minimal de T pode ser m(x)=(x-lambda)(x-mu) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma transformação linear em um espaço vetorial de dimensão 6. Temos dois autovalores distintos, e , com suas respectivas dimensões dos espaços próprios: e . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre polinômios característicos e mínimos, para responder as duas perguntas.

Passo 2

Primeira pergunta: Quais são as possibilidades para o polinômio característico de ?
Primeiro, lembra que o polinômio característico de uma transformação linear é dado por , e seus fatores lineares correspondem aos autovalores de . Já que temos os autovalores e , o polinômio característico será um produto desses fatores elevados a suas respectivas multiplicidades algébricas.

Passo 3

A multiplicidade algébrica de um autovalor é o número de vezes que ele aparece como raiz do polinômio característico. Sabemos que a soma das multiplicidades algébricas deve ser igual à dimensão do espaço, que é 6.
Temos:
dim Slambda = 3
dim Smu = 1
A dimensão dos espaços próprios é igual à multiplicidade geométrica, que é sempre menor ou igual à multiplicidade algébrica. Dessa forma, a multiplicidade algébrica de é pelo menos 3 e a de é pelo menos 1.

Passo 4

Vamos chamar as multiplicidades algébricas de mlambda >= 3 e mmu >= 1 de mlambda + mmu = 6 e , respectivamente. Sabemos que:
E:
Então, as possíveis combinações são:
  1. e
  2. e
  3. e

Passo 5

Agora, vamos escrever o polinômio característico para cada caso:
  1. Se pT(x) = (x - lambda)^3 (x - mu)^3 e pT(x) = (x - lambda)^4 (x - mu)^2 :
pT(x) = (x - lambda)^5 (x - mu)
  1. Se e :
  1. Se e :

Passo 6

Segunda pergunta: O polinômio minimal de pode ser ?
O polinômio minimal é o menor polinômio monico que annula a transformação . Para que seja o polinômio minimal, cada fator deve aparecer apenas uma vez, ou seja, cada autovalor tem multiplicidade 1 no polinômio minimal.

Passo 7

No entanto, observamos que a multiplicidade geométrica de é 3, o que significa que a multiplicidade algébrica é pelo menos 3. Se o polinômio minimal tivesse apenas uma vez, isso implicaria que o espaço próprio associado a seria de dimensão igual à multiplicidade algébrica, o que não é o caso aqui. Portanto, o polinômio minimal deve ter elevado a pelo menos 3.

Resposta

  1. As possibilidades para o polinômio característico de pT(x) = (x - lambda)^3 (x - mu)^3, (x - lambda)^4 (x - mu)^2, ou (x - lambda)^5 (x - mu) são:
  2. Não, o polinômio minimal de não pode ser .

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