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v.a iid com
e
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Faça uma ilustração computacional da distribuição aproximada conforme o tamanho da amostra cresce. Use
e 1000.
Faça uma ilustração computacional da distribuição aproximada conforme o tamanho da amostra cresce. Use
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (v.a. iid) $ Y_{1}, Y_{2}, ···, Y_{n} $ com média $ \mathrm{E}(Y_{i}) = \mu $ e variância $ \mathrm{V}(Y_{i}) = \sigma^{2} $. A ideia é fazer uma ilustração computacional de como a distribuição aproximada da média da amostra se comporta conforme aumentamos o tamanho da amostra $ n $. Vamos considerar três tamanhos de amostra: $ n = 50 $, $ n = 250 $ e $ n = 1000 $. Para isso, vamos precisar entender o Teorema Central do Limite e utilizar uma linguagem de programação, como Python ou R, para simular essas distribuições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema Central do Limite (TCL). Ele nos diz que, para amostras grandes, a distribuição da média amostral $ \bar{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_{i} $ se aproxima de uma distribuição normal, independentemente da distribuição original das variáveis $ Y_{i} $, desde que $ n $ seja suficientemente grande e as variáveis tenham média e variância finitas.
Vamos fazer isso na prática usando Python. Vamos gerar muitas amostras (por exemplo, 10.000) para cada tamanho de amostra $ n $ e calcular a média de cada amostra. Em seguida, vamos plotar histogramas dessas médias para ver como elas se comportam conforme $ n $ aumenta.
Passo 3
Vamos começar importando as bibliotecas necessárias e definindo os parâmetros:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Definindo parâmetros
mu = 0 # Média
sigma = 1 # Desvio padrão
sample_sizes = [50, 250, 1000]
num_simulations = 10000
Passo 4
Agora, vamos gerar as amostras e calcular as médias para cada tamanho de amostra:
# Configurando o layout dos plots
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(18, 5))
for i, n in enumerate(sample_sizes):
# Gerando amostras
samples = np.random.normal(mu, sigma, (num_simulations, n))
# Calculando médias
means = samples.mean(axis=1)
# Plotando histograma
axes[i].hist(means, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='b')
# Plotando a distribuição normal teórica
axes[i].set_title(f'Tamanho da Amostra n = {n}')
axes[i].set_xlabel('Média Amostral')
axes[i].set_ylabel('Densidade')
plt.tight_layout()
plt.show()
Passo 5
Vamos analisar o que está acontecendo nos histogramas gerados:
- n = 50: A distribuição das médias amostrais já começa a se aproximar de uma distribuição normal, mas ainda pode mostrar alguma leveza ou assimetria dependendo da distribuição original.
- n = 250: A aproximação à normalidade fica mais evidente, com a distribuição das médias ficando mais concentrada em torno da média verdadeira $ \mu $.
- n = 1000: A distribuição das médias amostrais está praticamente normal, mostrando que o Teorema Central do Limite funciona muito bem para tamanhos de amostra grandes.
Resposta
Com o aumento do tamanho da amostra de $ n = 50 $ para $ n = 250 $ e finalmente $ n = 1000 $, a distribuição das médias amostrais se aproxima cada vez mais de uma distribuição normal. Essa ilustração computacional confirma o Teorema Central do Limite, mostrando que para amostras grandes, independentemente da distribuição original das variáveis, a média da amostra tende a seguir uma distribuição normal com média $ \mu $ e variância $ \frac{\sigma^{2}}{n} $.