Seja
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Obtenha a distribuição aproximada de
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Obtenha a distribuição aproximada de
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, $ Y_1, ···, Y_n $, cada uma com média $ \mu $ e variância $ \sigma^{2} $. O exercício quer saber qual é a distribuição aproximada de $ \bar{\sigma}^{2} $, que representa, na prática, a variância amostral. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística sobre variância e o Teorema Central do Limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a variância amostral. A variância amostral é calculada pela fórmula:
onde $ \bar{Y} $ é a média amostral. No nosso caso, $ \bar{\sigma}^{2} $ está representando essa variância amostral.
Passo 3
Agora, para encontrar a distribuição aproximada de $ s^{2} $, vamos usar o Teorema Central do Limite (TCL). O TCL nos diz que, para amostras grandes, a distribuição de uma soma de variáveis aleatórias independentes tende a ser normal, mesmo que as variáveis individuais não sejam.
Passo 4
Aplicando o TCL à nossa variância amostral, sabemos que para $ n $ grande, a distribuição de $ s^{2} $ será aproximadamente normal. Mais especificamente, a média de $ s^{2} $ é $ \sigma^{2} $ e a variância de $ s^{2} $ é:
Passo 5
Portanto, combinando essas informações, podemos dizer que a variância amostral $ s^{2} $ segue aproximadamente uma distribuição normal com média $ \sigma^{2} $ e variância $ \frac{2\sigma^{4}}{n-1} $.
Resposta
A distribuição aproximada de $ \bar{\sigma}^{2} $ é normal com média $ \sigma^{2} $ e variância $ \frac{2\sigma^{4}}{n-1} $. Em notação, temos: