Sejam Y1, ldots, Yn v.as iid com E(Yi)=mu e V(Yi)=sigma^2.
Argumente sobre a seguinte afirmação: Para n infty
t=barY-mus / raizn xrightarrowD Z sim N(0,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de estatística, mais especificamente de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (iid). A gente precisa analisar o comportamento da estatística $ t = \frac{\bar{Y} - \mu}{s / \sqrt{n}} $ quando o número de observações $ n $ cresce indefinidamente, ou seja, quando $ n \rightarrow \infty $. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Central do Limite e entender como a média amostral e o desvio padrão amostral se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é cada termo na expressão da estatística $ t $:
  • $ \bar{Y} $ é a média amostral, calculada como $ \bar{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_i $.
  • $ \mu $ é a média da população.
  • $ s $ é o desvio padrão amostral, dado por $ s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \bar{Y})^2} $.
  • $ n $ é o tamanho da amostra.

Passo 3

Vamos aplicar o Teorema Central do Limite (TCL). O TCL diz que, para uma sequência de variáveis aleatórias iid com média $ \mu $ e variância $ \sigma^2 $, a distribuição da média amostral $ \bar{Y} $ se aproxima de uma distribuição normal quando $ n $ cresce, ou seja:
mu
Isso significa que a média amostral segue aproximadamente uma distribuição normal com média $ \mu $ e variância $ \frac{\sigma^2}{n} $ para $ n $ grande.

Passo 4

Agora, vamos considerar o desvio padrão amostral $ s $. Para $ n $ grande, o desvio padrão amostral $ s $ é uma boa estimativa de $ \sigma $, ou seja:
s
Isso significa que $ s $ converge em probabilidade para $ \sigma $ conforme $ n $ aumenta.

Passo 5

Com base nessas informações, podemos reescrever a estatística $ t $:
t
Como $ \frac{\bar{Y} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} $ converge para $ N(0,1) $ pelo TCL e $ \frac{\sigma}{s} $ converge para 1 (porque $ s \xrightarrow{P} \sigma $), então o produto também converge para $ N(0,1) $.

Passo 6

Portanto, combinando o Teorema Central do Limite com a consistência do desvio padrão amostral, concluímos que a estatística $ t $ converge em distribuição para uma variável normal padrão quando $ n \rightarrow \infty $.

Resposta

Para $ n \rightarrow \infty $, a estatística $ t = \frac{\bar{Y} - \mu}{s / \sqrt{n}} $ converge em distribuição para uma variável normal padrão $ Z \sim N(0,1) $.

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