Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de estatística, mais especificamente de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (iid). A gente precisa analisar o comportamento da estatística $ t = \frac{\bar{Y} - \mu}{s / \sqrt{n}} $ quando o número de observações $ n $ cresce indefinidamente, ou seja, quando $ n \rightarrow \infty $. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Central do Limite e entender como a média amostral e o desvio padrão amostral se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é cada termo na expressão da estatística $ t $:
- $ \bar{Y} $ é a média amostral, calculada como $ \bar{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_i $.
- $ \mu $ é a média da população.
- $ s $ é o desvio padrão amostral, dado por $ s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \bar{Y})^2} $.
- $ n $ é o tamanho da amostra.
Passo 3
Vamos aplicar o Teorema Central do Limite (TCL). O TCL diz que, para uma sequência de variáveis aleatórias iid com média $ \mu $ e variância $ \sigma^2 $, a distribuição da média amostral $ \bar{Y} $ se aproxima de uma distribuição normal quando $ n $ cresce, ou seja:
Isso significa que a média amostral segue aproximadamente uma distribuição normal com média $ \mu $ e variância $ \frac{\sigma^2}{n} $ para $ n $ grande.
Passo 4
Agora, vamos considerar o desvio padrão amostral $ s $. Para $ n $ grande, o desvio padrão amostral $ s $ é uma boa estimativa de $ \sigma $, ou seja:
Isso significa que $ s $ converge em probabilidade para $ \sigma $ conforme $ n $ aumenta.
Passo 5
Com base nessas informações, podemos reescrever a estatística $ t $:
Como $ \frac{\bar{Y} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} $ converge para $ N(0,1) $ pelo TCL e $ \frac{\sigma}{s} $ converge para 1 (porque $ s \xrightarrow{P} \sigma $), então o produto também converge para $ N(0,1) $.
Passo 6
Portanto, combinando o Teorema Central do Limite com a consistência do desvio padrão amostral, concluímos que a estatística $ t $ converge em distribuição para uma variável normal padrão quando $ n \rightarrow \infty $.
Resposta
Para $ n \rightarrow \infty $, a estatística $ t = \frac{\bar{Y} - \mu}{s / \sqrt{n}} $ converge em distribuição para uma variável normal padrão $ Z \sim N(0,1) $.