Seja v.a iid com e .
Mostre que onde barsigma^2=1n sumi=1^n(Yi-mu)^2.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (v.a. iid) $ Y_1, ···, Y_n $ com média $ \mathrm{E}(Y_i) = \mu $ e variância $ \mathrm{V}(Y_i) = \sigma^2 $. Queremos mostrar que a média das variâncias amostrais $ \bar{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(Y_i - \mu)^2 $ converge em probabilidade para $ \sigma^2 $ quando $ n $ tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de convergência em probabilidade e propriedades de variáveis aleatórias independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência em probabilidade. Dizemos que uma sequência de variáveis aleatórias $ X_n $ converge em probabilidade para $ X $ se, para todo $ \epsilon > 0 $, $ \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X| \geq \epsilon) = 0 $. No nosso caso, queremos mostrar que $ \bar{\sigma}^2 $ converge em probabilidade para $ \sigma^2 $.
Passo 3
Vamos calcular a esperança matemática de $ \bar{\sigma}^2 $. Como as $ Y_i $ são iid, temos:
barsigma^2
Então, a média de $ \bar{\sigma}^2 $ é $ \sigma^2 $.
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância de $ \bar{\sigma}^2 $. Novamente, usando a independência das $ Y_i $:
barsigma^2
Sabemos que $ \mathrm{V}((Y_1 - \mu)^2) = \mathrm{E}((Y_1 - \mu)^4) - (\mathrm{E}((Y_1 - \mu)2))2 $. Vamos chamar isso de $ \kappa $.
Passo 5
Assim, temos:
V(barsigma^2) = kappan
À medida que $ n $ cresce, $ \frac{\kappa}{n} $ tende a zero. Isso significa que a variância de $ \bar{\sigma}^2 $ está diminuindo para zero conforme $ n $ aumenta.
Passo 6
Finalmente, aplicamos o Teorema de Chebyshev, que nos diz que para qualquer $ \epsilon > 0 $:
epsilon > 0
Como $ n $ tende ao infinito, $ \frac{\kappa}{n \epsilon^2} $ tende a zero. Portanto, $ P(|\bar{\sigma}^2 - \sigma^2| \geq \epsilon) $ também tende a zero.
Resposta
Concluímos que $ \bar{\sigma}^2 \xrightarrow{P} \sigma^2 $ conforme $ n $ tende ao infinito.