Seja x0, x1, x2, ... uma sequência convergente de números reais tal que para todo n
x_{n+1} = x_{n}^2 / 2 + x_{n} - 1 / 2
Seja L o limite desta sequência. Indique a afirmação falsa.
(a) L em {-1, 1}.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência de números reais que está convergindo para um limite . A relação entre os termos da sequência é dada por:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve sequências e limites, além de equações quadráticas para encontrar os possíveis valores do limite . Vamos precisar resolver uma equação para descobrir quais são os valores possíveis de .

Passo 2

Como a sequência está convergindo para , isso significa que, quando tende ao infinito, e vão se aproximar de . Então, podemos substituir e por na equação dada:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os possíveis valores de . Primeiro, vamos simplificar:
Subtraia de ambos os lados:
Multiplique todos os termos por 2 para eliminar o denominador:

Passo 4

Agora, temos uma equação quadrática simples:
Essa equação pode ser fatorada como:
Então, as soluções são:

Passo 5

Portanto, o limite da sequência pode ser 1 ou -1. A afirmativa (a) diz que pertence ao conjunto , o que está de acordo com o que encontramos.

Resposta

A afirmativa (a) é verdadeira, pois o limite pertence a .

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