Seja
uma sequência convergente de números reais tal que para todo
Seja
o limite desta sequência. Indique a afirmação falsa.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência de números reais
que está convergindo para um limite
. A relação entre os termos da sequência é dada por:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve sequências e limites, além de equações quadráticas para encontrar os possíveis valores do limite
. Vamos precisar resolver uma equação para descobrir quais são os valores possíveis de
.
Passo 2
Como a sequência está convergindo para
, isso significa que, quando
tende ao infinito,
e
vão se aproximar de
. Então, podemos substituir
e
por
na equação dada:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os possíveis valores de
. Primeiro, vamos simplificar:
Subtraia
de ambos os lados:
Multiplique todos os termos por 2 para eliminar o denominador:
Passo 4
Agora, temos uma equação quadrática simples:
Essa equação pode ser fatorada como:
Então, as soluções são:
Passo 5
Portanto, o limite
da sequência pode ser 1 ou -1. A afirmativa (a) diz que
pertence ao conjunto
, o que está de acordo com o que encontramos.
Resposta
A afirmativa (a) é verdadeira, pois o limite
pertence a
.