Seja
o espaço vetorial real das funções polinomiais
, seja
o operador derivação,
, e seja
o operador definido por
. Considere as seguintes afirmações:
(I)
é sobrejetor
(I)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos um espaço vetorial chamado
, que é basicamente o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais. Temos dois operadores definidos sobre esse espaço:
- Operador Derivação (
): Ele pega um polinômio e retorna sua derivada . - Operador de Multiplicação por
( ): Ele pega um polinômio e retorna .
A afirmação que vamos analisar é:
(I)
é sobrejetor
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um operador ser sobrejetor (ou sobrejetiva). Em termos simples, um operador é sobrejetor se toda função no espaço de chegada tem pelo menos um preimagem no espaço de partida. Ou seja, para cada polinômio em
, existe pelo menos um polinômio em
que, ao aplicarmos
, resulta nesse polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o operador derivação
faz no espaço dos polinômios
. Se pegarmos um polinômio qualquer, por exemplo,
, sua derivada será
.
Agora, vamos pensar se para todo polinômio
em
, existe um polinômio
tal que
. Isso significa que precisamos encontrar um
cuja derivada seja exatamente
.
Passo 3
Vamos considerar um exemplo para visualizar isso melhor. Suponha que queremos que
. Precisamos encontrar um polinômio
cuja derivada seja
.
Sabemos que a derivada de
é
. Legal, encontramos um
que funciona.
Mas isso sempre funciona? Será que para qualquer polinômio
, podemos encontrar um
tal que
?
Passo 4
A resposta é sim, com uma ressalva. A principal coisa a notar é que a derivada de um polinômio reduz seu grau em 1 e perde a constante. Mas, para ser sobrejetor, queremos que todos os polinômios estejam no alcance da derivação.
Isso significa que, se
é um polinômio constante, digamos
, então existe um
cuja derivada é
. Se
tem grau
, então
terá grau
, e sua derivada será
.
Portanto, para qualquer polinômio
, podemos encontrar um
tal que
.
Resposta
A afirmação (I)
é sobrejetor é verdadeira.