Seja V = R[t] o espaço vetorial real das funções polinomiais p: R -> R, seja D: V -> V o operador derivação, D(p)(t) = p'(t), e seja T: V -> V o operador definido por T(p)(t) = t * p(t). Considere as seguintes afirmações:
(I) D é sobrejetor

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos um espaço vetorial chamado , que é basicamente o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais. Temos dois operadores definidos sobre esse espaço:
  1. Operador Derivação ( ): Ele pega um polinômio e retorna sua derivada .
  2. Operador de Multiplicação por ( ): Ele pega um polinômio e retorna .
A afirmação que vamos analisar é:
(I) é sobrejetor
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um operador ser sobrejetor (ou sobrejetiva). Em termos simples, um operador é sobrejetor se toda função no espaço de chegada tem pelo menos um preimagem no espaço de partida. Ou seja, para cada polinômio em , existe pelo menos um polinômio em que, ao aplicarmos , resulta nesse polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o operador derivação faz no espaço dos polinômios . Se pegarmos um polinômio qualquer, por exemplo, , sua derivada será .
Agora, vamos pensar se para todo polinômio em , existe um polinômio tal que . Isso significa que precisamos encontrar um cuja derivada seja exatamente .

Passo 3

Vamos considerar um exemplo para visualizar isso melhor. Suponha que queremos que . Precisamos encontrar um polinômio cuja derivada seja .
Sabemos que a derivada de é . Legal, encontramos um que funciona.
Mas isso sempre funciona? Será que para qualquer polinômio , podemos encontrar um tal que ?

Passo 4

A resposta é sim, com uma ressalva. A principal coisa a notar é que a derivada de um polinômio reduz seu grau em 1 e perde a constante. Mas, para ser sobrejetor, queremos que todos os polinômios estejam no alcance da derivação.
Isso significa que, se é um polinômio constante, digamos , então existe um cuja derivada é . Se tem grau , então terá grau , e sua derivada será .
Portanto, para qualquer polinômio , podemos encontrar um tal que .

Resposta

A afirmação (I) é sobrejetor é verdadeira.

Exercícios relacionados