Seja
o espaço vetorial real das funções polinomiais
, seja
o operador derivação,
, e seja
o operador definido por
. Considere as seguintes afirmações:
(III)
é sobrejetor
(III)
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
, que é basicamente o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais. Temos também dois operadores:
- D (derivação): que pega um polinômio e retorna sua derivada.
- T: que multiplica um polinômio por
, ou seja, .
A afirmação que vamos analisar é: “T é sobrejetor.” Para entender isso, precisamos saber o que significa um operador ser sobrejetor (ou seja, sobremissor). Vamos precisar entender o conceito de sobrejetividade e aplicar isso ao operador
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é sobrejetividade. Um operador
é sobrejetor se, para todo elemento
, existe pelo menos um elemento
tal que
. Em outras palavras,
“cobre” todo o espaço
.
No nosso caso, queremos saber se, para qualquer polinômio
, existe um polinômio
tal que
.
Passo 3
Vamos tentar resolver essa equação:
.
Queremos expressar
em termos de
:
Agora, precisamos verificar se
pertence a
. Lembrando que
é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais.
Passo 4
O problema está na divisão por
. Se
é um polinômio que é múltiplo de
, então
será um polinômio, porque a divisão será perfeita. Por exemplo, se
, então
, que é um polinômio.
No entanto, se
não é múltiplo de
, ou seja, se tem um termo constante diferente de zero,
não será um polinômio, pois teria um termo como
, que não é um polinômio.
Passo 5
Por exemplo, considere
. Tentando encontrar
:
Mas
não é um polinômio, já que polinômios só têm potências inteiras não negativas de
. Isso significa que não existe um polinômio
tal que
.
Passo 6
Portanto, nem todo polinômio
pode ser obtido aplicando
a algum polinômio
. Especificamente, polinômios que não são múltiplos de
não têm uma pré-imagem em
através de
.
Resposta
A afirmação (III) T é sobrejetor é falsa.