Seja V = R[t] o espaço vetorial real das funções polinomiais p: R -> R, seja D: V -> V o operador derivação, D(p)(t) = p'(t), e seja T: V -> V o operador definido por T(p)(t) = t * p(t). Considere as seguintes afirmações:
(III) T é sobrejetor

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial , que é basicamente o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais. Temos também dois operadores:
  1. D (derivação): que pega um polinômio e retorna sua derivada.
  2. T: que multiplica um polinômio por , ou seja, .
A afirmação que vamos analisar é: “T é sobrejetor.” Para entender isso, precisamos saber o que significa um operador ser sobrejetor (ou seja, sobremissor). Vamos precisar entender o conceito de sobrejetividade e aplicar isso ao operador .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é sobrejetividade. Um operador é sobrejetor se, para todo elemento , existe pelo menos um elemento tal que . Em outras palavras, “cobre” todo o espaço .
No nosso caso, queremos saber se, para qualquer polinômio , existe um polinômio tal que .

Passo 3

Vamos tentar resolver essa equação: .
Queremos expressar em termos de :
Agora, precisamos verificar se pertence a . Lembrando que é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais.

Passo 4

O problema está na divisão por . Se é um polinômio que é múltiplo de , então será um polinômio, porque a divisão será perfeita. Por exemplo, se , então , que é um polinômio.
No entanto, se não é múltiplo de , ou seja, se tem um termo constante diferente de zero, não será um polinômio, pois teria um termo como , que não é um polinômio.

Passo 5

Por exemplo, considere . Tentando encontrar :
Mas não é um polinômio, já que polinômios só têm potências inteiras não negativas de . Isso significa que não existe um polinômio tal que .

Passo 6

Portanto, nem todo polinômio pode ser obtido aplicando a algum polinômio . Especificamente, polinômios que não são múltiplos de não têm uma pré-imagem em através de .

Resposta

A afirmação (III) T é sobrejetor é falsa.

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