Seja n um número inteiro positivo. Se os três menores divisores positivos de n são os números 1, 3 e 13 e se a soma dos três maiores divisores de n é igual a 3905, então n é igual a:
a) 2535
b) 2847
c) 2769
d) 2028

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um número inteiro positivo $ n $ cujo três menores divisores são 1, 3 e 13. Além disso, a soma dos três maiores divisores de $ n $ é igual a 3905. Nosso objetivo é descobrir qual desses valores entre as opções dadas é o $ n $ correto.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nos divisores de um número. Os divisores de um número são os números que dividem ele exatamente, sem deixar resto. Aqui, sabemos que os três menores divisores de $ n $ são 1, 3 e 13. Isso significa que $ n $ deve ser múltiplo de 3 e de 13, já que 3 e 13 dividem $ n $ exatamente.

Passo 3

Como 3 e 13 são divisores de $ n $, podemos concluir que o mínimo múltiplo comum deles também divide $ n $. O produto desses dois números é $ 3 \times 13 = 39 $. Portanto, $ n $ é múltiplo de 39. Vamos chamar $ n = 39k $, onde $ k $ é um inteiro positivo.

Passo 4

Agora, vamos considerar os três maiores divisores de $ n $. O maior divisor de qualquer número é o próprio número, então o maior divisor de $ n $ é $ n $ mesmo. Os próximos maiores divisores seriam $ \frac{n}{3} $ e $ \frac{n}{13} $, já que 3 e 13 são divisores.

Passo 5

A soma dos três maiores divisores é dada por:
n + n3 + n13 = 3905
Vamos simplificar essa equação para encontrar o valor de $ n $.

Passo 6

Primeiro, vamos somar os termos:
n + n3 + n13 = n (1 + 13 + 113)
Calculando o que está dentro dos parênteses:
1 + 13 + 113 = 3939 + 1339 + 339 = 5539
Então, a equação fica:
n times 5539 = 3905

Passo 7

Para encontrar $ n $, isolamos ele na equação:
n
Simplificando:
n = 3905 times 3955
n = 3905 div 55 = 71

Resposta

c) 2769

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