Seja n um número inteiro positivo. Se os três menores divisores positivos de n são os números 1, 3 e 13 e se a soma dos três maiores divisores de n é igual a 3905, então n é igual a:
a) 2535
b) 2847
c) 2769
d) 2028
a) 2535
b) 2847
c) 2769
d) 2028
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um número inteiro positivo $ n $ cujo três menores divisores são 1, 3 e 13. Além disso, a soma dos três maiores divisores de $ n $ é igual a 3905. Nosso objetivo é descobrir qual desses valores entre as opções dadas é o $ n $ correto.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nos divisores de um número. Os divisores de um número são os números que dividem ele exatamente, sem deixar resto. Aqui, sabemos que os três menores divisores de $ n $ são 1, 3 e 13. Isso significa que $ n $ deve ser múltiplo de 3 e de 13, já que 3 e 13 dividem $ n $ exatamente.
Passo 3
Como 3 e 13 são divisores de $ n $, podemos concluir que o mínimo múltiplo comum deles também divide $ n $. O produto desses dois números é $ 3 \times 13 = 39 $. Portanto, $ n $ é múltiplo de 39. Vamos chamar $ n = 39k $, onde $ k $ é um inteiro positivo.
Passo 4
Agora, vamos considerar os três maiores divisores de $ n $. O maior divisor de qualquer número é o próprio número, então o maior divisor de $ n $ é $ n $ mesmo. Os próximos maiores divisores seriam $ \frac{n}{3} $ e $ \frac{n}{13} $, já que 3 e 13 são divisores.
Passo 5
A soma dos três maiores divisores é dada por:
Vamos simplificar essa equação para encontrar o valor de $ n $.
Passo 6
Primeiro, vamos somar os termos:
Calculando o que está dentro dos parênteses:
Então, a equação fica:
Passo 7
Para encontrar $ n $, isolamos ele na equação:
Simplificando:
Resposta
c) 2769