Seja um número real tal que os primeiros três termos de uma progressão geométrica infinita são 1, 2x, -3x + 1, nesta ordem. Sabendo que todos os termos da progressão são positivos, a soma de todos eles é igual a:
a) 3/2.
b) 2.
c) 5/2.
d) 3.
a) 3/2.
b) 2.
c) 5/2.
d) 3.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá os três primeiros termos de uma progressão geométrica (PG) infinita: 1,
e
. A gente sabe que todos os termos dessa PG são positivos e que queremos descobrir a soma de todos eles. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona uma PG, identificar a razão comum dela e usar a fórmula da soma de uma PG infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma progressão geométrica. Em uma PG, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante, que chamamos de $ r $. Então, se os primeiros três termos são $ a_1 $, $ a_2 $ e $ a_3 $, temos:
Passo 3
No nosso caso, os termos são:
Usando as relações da PG, podemos escrever:
Passo 4
Agora, temos a equação:
Vamos reorganizar essa equação para encontrar o valor de $ x $:
Passo 5
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 4 $, $ b = 3 $ e $ c = -1 $. Substituindo:
Então, temos duas soluções:
Passo 6
Lembrando que todos os termos da PG devem ser positivos. Vamos testar os valores de $ x $:
-
Para $ x = \frac{1}{4} $:E a razão $ r = 2x = \frac{1}{2} $, que é positiva.
-
Para $ x = -1 $:A razão $ r = 2x = -2 $, que é negativa.
Como queremos todos os termos positivos, apenas $ x = \frac{1}{4} $ é válido.
Passo 7
Agora que temos $ x = \frac{1}{4} $, podemos calcular a razão $ r = 2x = \frac{1}{2} $.
A fórmula da soma de uma PG infinita, quando $ |r| < 1 $, é:
Substituindo os valores:
Resposta
A soma de todos os termos da progressão é igual a 2.