Seja um número real tal que os primeiros três termos de uma progressão geométrica infinita são 1, 2x, -3x + 1, nesta ordem. Sabendo que todos os termos da progressão são positivos, a soma de todos eles é igual a:
a) 3/2.
b) 2.
c) 5/2.
d) 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá os três primeiros termos de uma progressão geométrica (PG) infinita: 1, 2x e -3x + 1. A gente sabe que todos os termos dessa PG são positivos e que queremos descobrir a soma de todos eles. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona uma PG, identificar a razão comum dela e usar a fórmula da soma de uma PG infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma progressão geométrica. Em uma PG, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante, que chamamos de $ r $. Então, se os primeiros três termos são $ a_1 $, $ a_2 $ e $ a_3 $, temos:
r
a1

Passo 3

No nosso caso, os termos são:
a1 = 1
a2 = 2x
a3 = -3x + 1
Usando as relações da PG, podemos escrever:
2x = 1 times r implies r = 2x
-3x + 1 = 2x times r = 2x times 2x = 4x^2

Passo 4

Agora, temos a equação:
4x^2 = -3x + 1
Vamos reorganizar essa equação para encontrar o valor de $ x $:
x

Passo 5

Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, $ a = 4 $, $ b = 3 $ e $ c = -1 $. Substituindo:
a = 4
Então, temos duas soluções:
b = 3
c = -1

Passo 6

Lembrando que todos os termos da PG devem ser positivos. Vamos testar os valores de $ x $:
  • Para $ x = \frac{1}{4} $:
    x
    x = 14
    E a razão $ r = 2x = \frac{1}{2} $, que é positiva.
  • Para $ x = -1 $:
    a2 = 2 times 14 = 12 > 0
    a3 = -3 times 14 + 1 = -34 + 1 = 14 > 0
    A razão $ r = 2x = -2 $, que é negativa.
Como queremos todos os termos positivos, apenas $ x = \frac{1}{4} $ é válido.

Passo 7

Agora que temos $ x = \frac{1}{4} $, podemos calcular a razão $ r = 2x = \frac{1}{2} $.
A fórmula da soma de uma PG infinita, quando $ |r| < 1 $, é:
x = 14
Substituindo os valores:
r = 2x = 12

Resposta

A soma de todos os termos da progressão é igual a 2.

Exercícios relacionados