Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a equação diferencial
é separável. Se for, precisamos encontrar a solução geral. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial separável e como aplicar técnicas de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolado. Temos:
Isso fica:
Passo 3
Agora, vamos verificar se conseguimos separar as variáveis
e
. Uma equação diferencial é separável se ela pode ser escrita na forma:
Olha só a nossa equação:
Vamos rearranjar para tentar separar:
Não está imediatamente na forma separável, então vamos tentar manipular para ver se conseguimos.
Passo 4
Vamos tentar agrupar os termos que envolvem
:
Agora, podemos escrever:
Ainda não está separável, mas vamos dividir ambos os lados por
:
Passo 5
Vamos analisar o lado esquerdo:
Isso parece com a derivada de uma função relacionada a
. De fato, se considerarmos
, podemos simplificar a expressão. Mas para facilitar, vamos reconhecer que essa expressão pode ser reescrita usando a técnica de integração fator integrante.
Passo 6
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para encontrar um fator integrante que facilite a solução:
Isso transforma a equação em uma forma que permite a aplicação do método de fator integrante.
Passo 7
A equação agora é:
Podemos reconhecer que o lado esquerdo é a derivada de
, ou seja:
Passo 8
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
. Para o lado direito, usamos integração por partes:
Passo 9
Então, temos:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: