Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(b) x y^2 + y' = x + y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a equação diferencial é separável. Se for, precisamos encontrar a solução geral. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial separável e como aplicar técnicas de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar isolado. Temos:
Isso fica:

Passo 3

Agora, vamos verificar se conseguimos separar as variáveis e . Uma equação diferencial é separável se ela pode ser escrita na forma:
Olha só a nossa equação:
Vamos rearranjar para tentar separar:
Não está imediatamente na forma separável, então vamos tentar manipular para ver se conseguimos.

Passo 4

Vamos tentar agrupar os termos que envolvem :
Agora, podemos escrever:
Ainda não está separável, mas vamos dividir ambos os lados por :

Passo 5

Vamos analisar o lado esquerdo:
Isso parece com a derivada de uma função relacionada a . De fato, se considerarmos , podemos simplificar a expressão. Mas para facilitar, vamos reconhecer que essa expressão pode ser reescrita usando a técnica de integração fator integrante.

Passo 6

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por para encontrar um fator integrante que facilite a solução:
Isso transforma a equação em uma forma que permite a aplicação do método de fator integrante.

Passo 7

A equação agora é:
Podemos reconhecer que o lado esquerdo é a derivada de , ou seja:

Passo 8

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para . Para o lado direito, usamos integração por partes:

Passo 9

Então, temos:
Agora, multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados