O autovalor e a autofunção correspondente para um potencial unidimensional
são
e
Encontre o potencial
.
Encontre o potencial
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um problema na mecânica quântica onde o autovalor da energia é
e a autofunção correspondente é
. Queremos encontrar o potencial
que gera essa energia e essa função de onda.
Para isso, vamos utilizar a equação de Schrödinger independente do tempo, que relaciona a energia, o potencial e a função de onda.
Passo 2
A equação de Schrödinger independente do tempo na dimensão única é dada por:
Como
, podemos isolar
da seguinte forma:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a segunda derivada de
.
Primeiro, a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:
Passo 4
Substituindo
na expressão para
:
Simplificando os termos:
Que pode ser reescrito como:
Resposta
Portanto, o potencial
é dado por: