O autovalor e a autofunção correspondente para um potencial unidimensional V(x) são
E=0 e Psi(x)=Ax^2+a^2
Encontre o potencial V(x).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um problema na mecânica quântica onde o autovalor da energia é E = 0 e a autofunção correspondente é Psi(x) = Ax^2 + a^2. Queremos encontrar o potencial V(x) que gera essa energia e essa função de onda.
Para isso, vamos utilizar a equação de Schrödinger independente do tempo, que relaciona a energia, o potencial e a função de onda.

Passo 2

A equação de Schrödinger independente do tempo na dimensão única é dada por:
-hbar^22m d^2Psi(x)dx^2 + V(x)Psi(x) = EPsi(x)
Como E = 0, podemos isolar V(x) da seguinte forma:
V(x) = hbar^22m Psi''(x)Psi(x)
Aqui, Psi''(x) representa a segunda derivada de Psi(x) em relação a x.

Passo 3

Vamos calcular a segunda derivada de Psi(x) = Ax^2 + a^2.
Primeiro, a primeira derivada:
Psi'(x) = -2A x(x^2 + a^2)^2
Agora, a segunda derivada:
Psi''(x) = 6A x^2 - 2A a^2(x^2 + a^2)^3

Passo 4

Substituindo Psi''(x) na expressão para V(x):
V(x) = hbar^22m cdot 6A x^2 - 2A a^2(x^2 + a^2)^3 cdot x^2 + a^2A
Simplificando os termos:
V(x) = hbar^22m cdot 6x^2 - 2a^2(x^2 + a^2)^2
Que pode ser reescrito como:
V(x) = hbar^2m cdot 3x^2 - a^2(x^2 + a^2)^2

Resposta

Portanto, o potencial V(x) é dado por:
V(x) = hbar^2m cdot 3x^2 - a^2(x^2 + a^2)^2

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