Seja
. Achar a derivada direcional no ponto
, na orientação do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada direcional da função
no ponto
, na direção do vetor
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente de derivadas parciais e derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. Ela nos mostra a taxa de variação da função
em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular isso, precisamos dos gradientes das variáveis envolvidas e do vetor de direção.
Passo 3
Calculamos o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Então, vamos encontrar
,
e
.
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
, porque derivando em relação a dá , e a derivada de em relação a é 0. -
, aqui usamos a regra do produto para derivar em relação a e derivamos em relação a . -
, derivando em relação a .
Então, o gradiente de
é:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto dado
. Substituindo
,
e
na expressão do gradiente:
-
Primeira componente:
-
Segunda componente:
-
Terceira componente:
Portanto,
Passo 6
Em seguida, precisamos normalizar o vetor de direção
para que ele tenha comprimento 1. A normalização é importante porque a derivada direcional depende apenas da direção, não do tamanho do vetor.
O comprimento de
é:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 7
Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Isso significa que multiplicamos componente a componente do gradiente pelo vetor unitário e somamos os resultados.
Passo 8
Vamos calcular o produto escalar:
Simplificando:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é
.