Seja Phi=x y^2+y z^3. Achar a derivada direcional no ponto (0,1,2), na orientação do vetor V=ax+2 ay+az.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada direcional da função Phi = x y^2 + y z^3 no ponto (0,1,2), na direção do vetor V = ax + 2 ay + az. Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente de derivadas parciais e derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. Ela nos mostra a taxa de variação da função Phi em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular isso, precisamos dos gradientes das variáveis envolvidas e do vetor de direção.

Passo 3

Calculamos o gradiente da função Phi. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Então, vamos encontrar partial Phipartial x, partial Phipartial y e partial Phipartial z.

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:
  • partial Phipartial x = y^2, porque derivando x y^2 em relação a x y^2, e a derivada de y z^3 em relação a x é 0.
  • partial Phipartial y = 2x y + z^3, aqui usamos a regra do produto para derivar x y^2 em relação a y e derivamos y z^3 em relação a y.
  • partial Phipartial z = 3y z^2, derivando y z^3 em relação a z.
Então, o gradiente de Phi é:
nabla Phi = ( y^2, 2x y + z^3, 3y z^2 )

Passo 5

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto dado (0,1,2). Substituindo x=0, y=1 e z=2 na expressão do gradiente:
  • Primeira componente: y^2 = 1^2 = 1
  • Segunda componente: 2x y + z^3 = 2 cdot 0 cdot 1 + 2^3 = 0 + 8 = 8
  • Terceira componente: 3y z^2 = 3 cdot 1 cdot (2)^2 = 3 cdot 1 cdot 4 = 12
Portanto, nabla Phi (0,1,2) = (1, 8, 12)

Passo 6

Em seguida, precisamos normalizar o vetor de direção V = ax + 2 ay + az para que ele tenha comprimento 1. A normalização é importante porque a derivada direcional depende apenas da direção, não do tamanho do vetor.
O comprimento de V é:
|V| = raiz1^2 + 2^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6
Então, o vetor unitário na direção de V é:
u = ( 1raiz6, 2raiz6, 1raiz6 )

Passo 7

Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Du Phi = nabla Phi cdot u
Isso significa que multiplicamos componente a componente do gradiente pelo vetor unitário e somamos os resultados.

Passo 8

Vamos calcular o produto escalar:
Du Phi = (1) cdot ( 1raiz6 ) + (8) cdot ( 2raiz6 ) + (12) cdot ( 1raiz6 )
Simplificando:
Du Phi = 1raiz6 + 16raiz6 + 12raiz6 = 1 + 16 + 12raiz6 = 29raiz6

Resposta

A derivada direcional de Phi no ponto (0,1,2) na direção do vetor V é 29raiz6.

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