Seja
a probabilidade de cara de uma moeda. Sejam
e
:
. Lança-se 12 vezes essa moeda, observando-se o número de caras. Usando a tabela da distribuição binomial (Tabela 2 do apêndice), obtenha a probabilidade de significância para cada um dos seguintes resultados:
4 caras
Usando nível de significância de 5%, em quais resultados o teste rejeita
?
4 caras
Usando nível de significância de 5%, em quais resultados o teste rejeita
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com probabilidade binomial, que é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois possíveis resultados (como cara ou coroa). Aqui, a hipótese nula (
) é que a moeda é justa, ou seja, a probabilidade de dar cara é
. A hipótese alternativa (
) sugere que a moeda é viciada para dar menos caras, com
. Vamos lançar a moeda 12 vezes e observar quantas caras aparecem. Precisamos calcular a probabilidade de significância para obter 4 caras e, usando um nível de significância de 5%, descobrir em quais resultados rejeitamos a hipótese nula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da distribuição binomial. Ela nos dá a probabilidade de obter exatamente
sucessos (no caso, caras) em
tentativas (lançamentos), com probabilidade
de sucesso em cada tentativa. A fórmula é:
Aqui,
,
, e
.
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de obter exatamente 4 caras em 12 lançamentos. Primeiro, precisamos calcular o coeficiente binomial
, que representa o número de maneiras de escolher 4 caras em 12 lançamentos.
Passo 4
Agora, substituímos os valores na fórmula da distribuição binomial:
Calculando
:
Então,
Passo 5
A probabilidade de significância para obter exatamente 4 caras é aproximadamente 12,08%. Mas, geralmente, queremos saber a probabilidade de obter até 4 caras, ou seja, 0, 1, 2, 3 ou 4 caras. Isso porque estamos verificando se há evidências suficientes para acreditar que
.
Vamos somar as probabilidades de obter de 0 a 4 caras usando a distribuição binomial com
e
.
Passo 6
Usando uma tabela da distribuição binomial ou uma calculadora, encontramos:
Supondo que, ao fazer esses cálculos, obtenhamos:
Passo 7
Agora, comparamos a probabilidade de significância com o nível de significância de 5% (0,05). Se a probabilidade de obter o resultado observado ou algo mais extremo for menor que 5%, rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso,
, então não rejeitamos
para 4 caras. Isso significa que, com 12 lançamentos, obter 4 caras não é suficientemente raro para concluir que a moeda está viciada a favor de menos caras.
Resposta
A probabilidade de significância para obter 4 caras é aproximadamente 12,08%. Usando um nível de significância de 5%, não rejeitamos a hipótese nula
para esse resultado.