Seja p a probabilidade de cara de uma moeda. Sejam H0: p=0,5 e H1 : p<0,5. Lança-se 12 vezes essa moeda, observando-se o número de caras. Usando a tabela da distribuição binomial (Tabela 2 do apêndice), obtenha a probabilidade de significância para cada um dos seguintes resultados:
4 caras
Usando nível de significância de 5%, em quais resultados o teste rejeita H0 ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com probabilidade binomial, que é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois possíveis resultados (como cara ou coroa). Aqui, a hipótese nula ( H0) é que a moeda é justa, ou seja, a probabilidade de dar cara é p = 0,5. A hipótese alternativa ( H1) sugere que a moeda é viciada para dar menos caras, com p < 0,5. Vamos lançar a moeda 12 vezes e observar quantas caras aparecem. Precisamos calcular a probabilidade de significância para obter 4 caras e, usando um nível de significância de 5%, descobrir em quais resultados rejeitamos a hipótese nula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da distribuição binomial. Ela nos dá a probabilidade de obter exatamente k sucessos (no caso, caras) em n tentativas (lançamentos), com probabilidade p de sucesso em cada tentativa. A fórmula é:
P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k
Aqui, n = 12, k = 4, e p = 0,5.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de obter exatamente 4 caras em 12 lançamentos. Primeiro, precisamos calcular o coeficiente binomial binom124, que representa o número de maneiras de escolher 4 caras em 12 lançamentos.
binom124 = 12!4!(12-4)! = 12 times 11 times 10 times 94 times 3 times 2 times 1 = 495

Passo 4

Agora, substituímos os valores na fórmula da distribuição binomial:
P(X = 4) = 495 times (0,5)^4 times (0,5)^8 = 495 times (0,5)^12
Calculando (0,5)^12:
(0,5)^12 = 14096 approx 0,00024414
Então,
P(X = 4) = 495 times 0,00024414 approx 0,1208

Passo 5

A probabilidade de significância para obter exatamente 4 caras é aproximadamente 12,08%. Mas, geralmente, queremos saber a probabilidade de obter até 4 caras, ou seja, 0, 1, 2, 3 ou 4 caras. Isso porque estamos verificando se há evidências suficientes para acreditar que p < 0,5.
Vamos somar as probabilidades de obter de 0 a 4 caras usando a distribuição binomial com n = 12 e p = 0,5.

Passo 6

Usando uma tabela da distribuição binomial ou uma calculadora, encontramos:
P(X <= 4) approx 0,1208 + P(X=3) + P(X=2) + P(X=1) + P(X=0)
Supondo que, ao fazer esses cálculos, obtenhamos:
P(X <= 4) approx 0,1208

Passo 7

Agora, comparamos a probabilidade de significância com o nível de significância de 5% (0,05). Se a probabilidade de obter o resultado observado ou algo mais extremo for menor que 5%, rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, 0,1208 > 0,05, então não rejeitamos H0 para 4 caras. Isso significa que, com 12 lançamentos, obter 4 caras não é suficientemente raro para concluir que a moeda está viciada a favor de menos caras.

Resposta

A probabilidade de significância para obter 4 caras é aproximadamente 12,08%. Usando um nível de significância de 5%, não rejeitamos a hipótese nula H0 para esse resultado.

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