Seja
a probabilidade de cara de uma moeda. Sejam
e
:
. Lança-se 12 vezes essa moeda, observando-se o número de caras. Usando a tabela da distribuição binomial (Tabela 2 do apêndice), obtenha a probabilidade de significância para cada um dos seguintes resultados:
6 caras
Usando nível de significância de 5%, em quais resultados o teste rejeita
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6 caras
Usando nível de significância de 5%, em quais resultados o teste rejeita
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Probabilidade, especificamente usando a Distribuição Binomial. A gente vai analisar uma moeda que, quando jogada 12 vezes, pode dar cara ou coroa. Queremos saber a probabilidade de sair 6 caras e, com isso, verificar se rejeitamos a hipótese inicial de que a moeda é justa (ou seja, a probabilidade de cara é 0,5).
Passo 2
Primeiro, vamos entender as hipóteses:
- Hipótese Nula (H₀): $ p = 0,5 $ (a moeda é justa)
- Hipótese Alternativa (H₁): $ p < 0,5 $ (a moeda é viciada para coroas)
Como queremos verificar se a moeda é viciada para coroas, nosso foco é na parte esquerda da distribuição binomial.
Passo 3
A distribuição binomial nos ajuda a calcular a probabilidade de obter um certo número de sucessos (nesse caso, caras) em um número fixo de tentativas (12 lançamentos), dado que a probabilidade de sucesso em cada tentativa é constante.
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
- $ n = 12 $ é o número de lançamentos
- $ k = 6 $ é o número de caras observadas
- $ p = 0,5 $ é a probabilidade de sair cara em cada lançamento
Passo 4
Vamos calcular a probabilidade de obter exatamente 6 caras:
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial:
Agora, substituindo na fórmula:
Como $ (0,5)^{12} = \frac{1}{4096} $:
Passo 5
Mas a probabilidade de significância geralmente considera a probabilidade de obter um resultado tão extremo ou mais extremo que o observado, de acordo com a hipótese alternativa. Como nossa hipótese alternativa é $ p < 0,5 $, queremos a probabilidade de obter 6 ou menos caras.
Então, precisamos calcular:
Usando uma tabela da distribuição binomial ou uma calculadora, encontramos que:
Passo 6
Agora, comparamos essa probabilidade com o nível de significância de 5% (0,05). Se $ P(X \leq 6) $ for menor ou igual a 0,05, rejeitamos H₀. Caso contrário, não rejeitamos.
Como $ 0,623 > 0,05 $, não rejeitamos H₀.
Resposta
A probabilidade de significância para obter 6 caras é aproximadamente 62,3%. Como 62,3% é maior que 5%, não rejeitamos a hipótese nula $ H_{0} $.