Seja p a probabilidade de cara de uma moeda. Sejam H0: p=0,5 e H1 : p<0,5. Lança-se 12 vezes essa moeda, observando-se o número de caras. Usando a tabela da distribuição binomial (Tabela 2 do apêndice), obtenha a probabilidade de significância para cada um dos seguintes resultados:
6 caras
Usando nível de significância de 5%, em quais resultados o teste rejeita H0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Probabilidade, especificamente usando a Distribuição Binomial. A gente vai analisar uma moeda que, quando jogada 12 vezes, pode dar cara ou coroa. Queremos saber a probabilidade de sair 6 caras e, com isso, verificar se rejeitamos a hipótese inicial de que a moeda é justa (ou seja, a probabilidade de cara é 0,5).

Passo 2

Primeiro, vamos entender as hipóteses:
  • Hipótese Nula (H₀): $ p = 0,5 $ (a moeda é justa)
  • Hipótese Alternativa (H₁): $ p < 0,5 $ (a moeda é viciada para coroas)
Como queremos verificar se a moeda é viciada para coroas, nosso foco é na parte esquerda da distribuição binomial.

Passo 3

A distribuição binomial nos ajuda a calcular a probabilidade de obter um certo número de sucessos (nesse caso, caras) em um número fixo de tentativas (12 lançamentos), dado que a probabilidade de sucesso em cada tentativa é constante.
A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n = 12 $ é o número de lançamentos
  • $ k = 6 $ é o número de caras observadas
  • $ p = 0,5 $ é a probabilidade de sair cara em cada lançamento

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de obter exatamente 6 caras:
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial:
binom126 = 12!6! cdot (12-6)! = 924
Agora, substituindo na fórmula:
P(X = 6) = 924 times (0,5)^6 times (0,5)^6 = 924 times (0,5)^12
Como $ (0,5)^{12} = \frac{1}{4096} $:
(0,5)^12 = 14096

Passo 5

Mas a probabilidade de significância geralmente considera a probabilidade de obter um resultado tão extremo ou mais extremo que o observado, de acordo com a hipótese alternativa. Como nossa hipótese alternativa é $ p < 0,5 $, queremos a probabilidade de obter 6 ou menos caras.
Então, precisamos calcular:
p < 0,5
Usando uma tabela da distribuição binomial ou uma calculadora, encontramos que:
P(X <= 6) = sumk=0^6 P(X = k)

Passo 6

Agora, comparamos essa probabilidade com o nível de significância de 5% (0,05). Se $ P(X \leq 6) $ for menor ou igual a 0,05, rejeitamos H₀. Caso contrário, não rejeitamos.
Como $ 0,623 > 0,05 $, não rejeitamos H₀.

Resposta

A probabilidade de significância para obter 6 caras é aproximadamente 62,3%. Como 62,3% é maior que 5%, não rejeitamos a hipótese nula $ H_{0} $.

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