Mostre que psi(x)=C e^-x^2 raizm k2 hbar é uma solução de -hbar^22 m d^2 psid x^2+k x^22 V psi=E psi, com E0=hbar omega2. Aqui k é a constante diferente do número de ondas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a função -hbar^22 m d^2 psid x^2 + 12k x^2 psi = E psi é uma solução da equação de Schrödinger para o oscilador harmônico, que é dada por:
Aqui, é a constante do oscilador, é a massa, é a constante de Planck reduzida, e é a energia fundamental que queremos confirmar. Para resolver, vamos precisar calcular a segunda derivada de , substituir na equação e verificar se a igualdade se mantém com .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de psi(x) = C e^-x^2 raizmk2 hbar . A função é:
d psid x = C cdot (-2x raizmk2 hbar) e^-x^2 raizmk2 hbar = -C x raizmkhbar e^-x^2 raizmk2 hbar
Vamos derivar uma vez:
d^2 psid x^2 = -C raizmkhbar e^-x^2 raizmk2 hbar + (-C x raizmkhbar) cdot (-x raizmkhbar) e^-x^2 raizmk2 hbar
Agora, a segunda derivada:
d^2 psid x^2 = -C raizmkhbar e^-x^2 raizmk2 hbar + C x^2 mkhbar^2 e^-x^2 raizmk2 hbar
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos substituir -hbar^22 m ( -C raizmkhbar e^-x^2 raizmk2 hbar + C x^2 mkhbar^2 e^-x^2 raizmk2 hbar ) + 12k x^2 C e^-x^2 raizmk2 hbar = E C e^-x^2 raizmk2 hbar e -hbar^22 m ( -C raizmkhbar ) = hbar^22 m cdot C raizmkhbar = C hbar raizmk2 m na equação de Schrödinger:
-hbar^22 m cdot C x^2 mkhbar^2 = -C x^2 mk2 m = -C k x^22
Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
12k x^2 C = C k x^22
  1. Segundo termo:
C hbar raizmk2 m - C k x^22 + C k x^22 = C hbar raizmk2 m
  1. Terceiro termo:
C hbar raizmk2 m = E C
Somando todos os termos:
Isso deve ser igual a . Como os termos com cancelaram, ficamos com:

Passo 4

Vamos resolver para E = hbar raizmk2 m = hbar2 cdot raizmkm = hbar2 cdot raizkm :
omega = raizkm
Sabemos que a frequência angular E = hbar omega2 de um oscilador harmônico é dada por:
Portanto:

Resposta

Então, mostramos que E0 = hbar omega2 é de fato uma solução da equação de Schrödinger para o oscilador harmônico, com a energia fundamental:

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