Mostre que
é uma solução de
, com
. Aqui
é a constante diferente do número de ondas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a função
é uma solução da equação de Schrödinger para o oscilador harmônico, que é dada por:
Aqui,
é a constante do oscilador,
é a massa,
é a constante de Planck reduzida, e
é a energia fundamental que queremos confirmar. Para resolver, vamos precisar calcular a segunda derivada de
, substituir na equação e verificar se a igualdade se mantém com
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de
. A função é:
Vamos derivar uma vez:
Agora, a segunda derivada:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação de Schrödinger:
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Somando todos os termos:
Isso deve ser igual a
. Como os termos com
cancelaram, ficamos com:
Passo 4
Vamos resolver para
:
Sabemos que a frequência angular
de um oscilador harmônico é dada por:
Portanto:
Resposta
Então, mostramos que
é de fato uma solução da equação de Schrödinger para o oscilador harmônico, com a energia fundamental: