Mostre que é uma solução de , com . Aqui é a constante diferente do número de ondas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a função é uma solução da equação de Schrödinger para o oscilador harmônico, que é dada por:
Aqui, é a constante do oscilador, é a massa, é a constante de Planck reduzida, e é a energia fundamental que queremos confirmar. Para resolver, vamos precisar calcular a segunda derivada de , substituir na equação e verificar se a igualdade se mantém com .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de . A função é:
Vamos derivar uma vez:
Agora, a segunda derivada:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação de Schrödinger:
Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
Somando todos os termos:
Isso deve ser igual a . Como os termos com cancelaram, ficamos com:

Passo 4

Vamos resolver para :
Sabemos que a frequência angular de um oscilador harmônico é dada por:
Portanto:

Resposta

Então, mostramos que é de fato uma solução da equação de Schrödinger para o oscilador harmônico, com a energia fundamental:

Exercícios relacionados

Um sistema é resfriado de a e, em seguida, é expandido. Se o calor transferido é de -50 J e o trabalho realizado é de -30 J, calcule a variação da energia interna.
Seja uma solução da equação de Schrödinger em uma dimensão com energia . Mostre que a função de onda também é uma solução com a mesma energia , qualquer que seja o valor da constante A. (Esse resultado mostra que, quando normalizamos uma função de onda, não ocorre variação da energia associada com a função de onda.)
Mostre que, para uma partícula livre de massa m movendo-se em uma dimensão, a função é uma solução para a equação de Schrödinger independente do tempo para quaisquer valores das constantes A e B .
A função de onda para o estado de menor energia de um oscilador harmônico simples, constituído de um partícula de massa m sob ação de uma força restauradora linear cuja constante é , , pode ser expressa como:
onde A é uma constante real, podendo assumir qualquer valor. (a) Verifique que essa expressão é uma solução da equação de Schrödinger com potencial apropriado.
(b) Normalize a função de onda do oscilador harmônico simples e determinando o valor da constante arbitrária .
© Ainda considerando o oscilador harmônico citado anteriormente, calcule a sua densidade de probabilidade.