Mostre que
é uma solução de
, com
. Aqui
é a constante diferente do número de ondas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a função
é uma solução da equação de Schrödinger para o oscilador harmônico, que é dada por:
Aqui,
é a constante do oscilador,
é a massa,
é a constante de Planck reduzida, e
é a energia fundamental que queremos confirmar. Para resolver, vamos precisar calcular a segunda derivada de
, substituir na equação e verificar se a igualdade se mantém com
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de
. A função é:
Vamos derivar uma vez:
Agora, a segunda derivada:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação de Schrödinger:
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Somando todos os termos:
Isso deve ser igual a
. Como os termos com
cancelaram, ficamos com:
Passo 4
Vamos resolver para
:
Sabemos que a frequência angular
de um oscilador harmônico é dada por:
Portanto:
Resposta
Então, mostramos que
é de fato uma solução da equação de Schrödinger para o oscilador harmônico, com a energia fundamental:
Exercícios relacionados
Um sistema é resfriado de
a
e, em seguida, é expandido. Se o calor transferido é de -50 J e o trabalho realizado é de -30 J, calcule a variação da energia interna.
Seja
uma solução da equação de Schrödinger em uma dimensão com energia
. Mostre que a função de onda
também é uma solução com a mesma energia
, qualquer que seja o valor da constante A. (Esse resultado mostra que, quando normalizamos uma função de onda, não ocorre variação da energia associada com a função de onda.)
Mostre que, para uma partícula livre de massa m movendo-se em uma dimensão, a função
é uma solução para a equação de Schrödinger independente do tempo para quaisquer valores das constantes A e B .
A função de onda
para o estado de menor energia de um oscilador harmônico simples, constituído de um partícula de massa m sob ação de uma força restauradora linear cuja constante é ,
, pode ser expressa como:
onde A é uma constante real, podendo assumir qualquer valor. (a) Verifique que essa expressão é uma solução da equação de Schrödinger com potencial apropriado.
(b) Normalize a função de onda do oscilador harmônico simples e determinando o valor da constante arbitrária .
© Ainda considerando o oscilador harmônico citado anteriormente, calcule a sua densidade de probabilidade.
(b) Normalize a função de onda do oscilador harmônico simples e determinando o valor da constante arbitrária
© Ainda considerando o oscilador harmônico citado anteriormente, calcule a sua densidade de probabilidade.