Seja S: R^3 R^3 dada por S(x, y, z)=(x-2 z, x+y,-y+z).
A SOMA DOS ELEMENTOS DA DIAGONAL PRINCIPAL da matriz [S]beta^beta pertence a qual dos intervalos abaixo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . O exercício pede para encontrar a soma dos elementos da diagonal principal da matriz dessa transformação em relação à base padrão . Para resolver isso, vamos precisar identificar a matriz da transformação e então somar os elementos da sua diagonal principal.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz da transformação S(1, 0, 0) = (1 - 2 cdot 0, 1 + 0, -0 + 0) = (1, 1, 0) na base padrão. Cada coluna da matriz representa a imagem dos vetores da base padrão sob S(0, 1, 0) = (0 - 2 cdot 0, 0 + 1, -1 + 0) = (0, 1, -1) .
  • Aplicando S(0, 0, 1) = (0 - 2 cdot 1, 0 + 0, -0 + 1) = (-2, 0, 1) no primeiro vetor da base padrão [S]beta^beta = 1 & 0 & -2 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 :
  • Aplicando no segundo vetor da base padrão :
  • Aplicando no terceiro vetor da base padrão :
Então, a matriz fica:

Passo 3

Agora, vamos identificar os elementos da diagonal principal dessa matriz. A diagonal principal de uma matriz são os elementos que ficam de cima para baixo, do canto superior esquerdo para o canto inferior direito.
Na nossa matriz:
  • Primeiro elemento da diagonal:
  • Segundo elemento da diagonal:
  • Terceiro elemento da diagonal:

Passo 4

Para encontrar a soma dos elementos da diagonal principal, simplesmente somamos esses valores:
1 + 1 + 1 = 3

Resposta

A soma dos elementos da diagonal principal da matriz é igual a 3.

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