Utilizando os subespaços A, B e C, com as seguintes bases, respectivamente,
e a transformação linear dada por L(lx y z)=[c2 x-y 2 z+y 2 y-x+z] :
Encontre as matrizes de transição entre as bases, i.e., PSB SA, PSA SB, PSC SA, PSA SC, PSB SC, PSC SB
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes de transição entre as bases , e . A ideia é encontrar como passar de uma base para outra usando matrizes específicas. Para isso, vamos precisar entender as bases dadas e como construir as matrizes de transição entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de transição. Ela serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Se quisermos passar da base para , por exemplo, precisamos descobrir como os vetores de se expressam em termos dos vetores de .
Passo 3
Vamos começar encontrando a matriz de transição . Isso significa que queremos expressar cada vetor da base usando os vetores da base .
Passo 4
Anotando as bases:
SA = 1 0 1 , -1 0 0 , 1 1 1
SB = 1 2 -1 , 1 -1 1 , 0 0 1
Para encontrar , precisamos resolver .
Passo 5
Montamos o sistema de equações para cada vetor de a 1 2 -1 + b 1 -1 1 + c 0 0 1 = 1 0 1 em termos de . Por exemplo, para o primeiro vetor de :
Resolvendo, encontramos os coeficientes .
Passo 6
Fazendo isso para os três vetores de PSB SA = a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 , obtemos as colunas da matriz :
Onde são os coeficientes encontrados para cada vetor.
Passo 7
Repetimos esse processo para todas as combinações de bases:
Cada matriz é obtida resolvendo sistemas semelhantes ao que fizemos para .
Passo 8
Após resolver todos os sistemas, organizamos os coeficientes encontrados nas respectivas matrizes de transição. Assim, teremos todas as matrizes necessárias para converter coordenadas entre as bases , e .