Utilizando os subespaços A, B e C, com as seguintes bases, respectivamente,
SA=[l 1 0 1 ] ;[c -1 0 0 ] ;[l 1 1 1 ] SB=[c 1 2 -1 ] ;[c 1 -1 1 ] ;[l 0 0 1 ] SC[l 1 2 3 ] ;[l 0 1 0 ] ;[l 2 1 1 ]
e a transformação linear dada por L(lx y z)=[c2 x-y 2 z+y 2 y-x+z] :
Encontre as matrizes de transição entre as bases, i.e., PSB SA, PSA SB, PSC SA, PSA SC, PSB SC, PSC SB

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes de transição entre as bases , e . A ideia é encontrar como passar de uma base para outra usando matrizes específicas. Para isso, vamos precisar entender as bases dadas e como construir as matrizes de transição entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de transição. Ela serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Se quisermos passar da base para , por exemplo, precisamos descobrir como os vetores de se expressam em termos dos vetores de .

Passo 3

Vamos começar encontrando a matriz de transição . Isso significa que queremos expressar cada vetor da base usando os vetores da base .

Passo 4

Anotando as bases:
SA = 1 0 1 , -1 0 0 , 1 1 1
SB = 1 2 -1 , 1 -1 1 , 0 0 1
Para encontrar , precisamos resolver .

Passo 5

Montamos o sistema de equações para cada vetor de a 1 2 -1 + b 1 -1 1 + c 0 0 1 = 1 0 1 em termos de . Por exemplo, para o primeiro vetor de :
Resolvendo, encontramos os coeficientes .

Passo 6

Fazendo isso para os três vetores de PSB SA = a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 , obtemos as colunas da matriz :
Onde são os coeficientes encontrados para cada vetor.

Passo 7

Repetimos esse processo para todas as combinações de bases:
Cada matriz é obtida resolvendo sistemas semelhantes ao que fizemos para .

Passo 8

Após resolver todos os sistemas, organizamos os coeficientes encontrados nas respectivas matrizes de transição. Assim, teremos todas as matrizes necessárias para converter coordenadas entre as bases , e .

Resposta

As matrizes de transição são:
PSB SA = 1 & -1 & 2 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 , PSA SB = 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 ,
PSC SA = 1 & 0 & 2 2 & 0 & 1 3 & 0 & 1 , PSA SC = 1 & 0 & 0 0.5 & 1 & 0 1.5 & -0.5 & 1 ,
PSB SC = 1 & 0 & 2 -1 & 1 & -1 1 & 1 & 0 , PSC SB = 0.5 & 0.5 & 0 0 & 1 & 0 -1 & 1 & 1

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