Sejam v1=(1,2,3), v2=(0,1,2) e v3=(0,0,1) vetores de R^3.
(b) Determine as coordenadas de u=(5,4,2) em relação à base beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores v1=(1,2,3), v2=(0,1,2) e v3=(0,0,1) que formam uma base beta no espaço tridimensional R^3. A tarefa é descobrir as coordenadas do vetor u=(5,4,2) nessa base beta.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e mudança de base. Basicamente, queremos encontrar quais multiplicadores (ou coordenadas) multiplicados pelos vetores da base resultam no vetor u.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o que estamos procurando. Queremos encontrar números a, b e c tais que:
a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 = u
Substituindo os vetores, temos:
a cdot (1,2,3) + b cdot (0,1,2) + c cdot (0,0,1) = (5,4,2)
Isso nos dá um sistema de equações:
a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 0 = 5 a cdot 2 + b cdot 1 + c cdot 0 = 4 a cdot 3 + b cdot 2 + c cdot 1 = 2

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela primeira equação:
a = 5
Já temos o valor de a. Agora, vamos para a segunda equação:
2a + b = 4
Substituindo a = 5:
2 cdot 5 + b = 4 10 + b = 4 b = 4 - 10 b = -6
Pronto, temos a = 5 e b = -6.

Passo 4

Por fim, vamos para a terceira equação:
3a + 2b + c = 2
Substituindo a = 5 e b = -6:
3 cdot 5 + 2 cdot (-6) + c = 2 15 - 12 + c = 2 3 + c = 2 c = 2 - 3 c = -1
Agora, temos todos os valores: a = 5, b = -6, e c = -1.

Resposta

As coordenadas de u=(5,4,2) na base beta são (5, -6, -1).

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