Sejam , e vetores de .
(b) Determine as coordenadas de em relação à base .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores , e que formam uma base no espaço tridimensional . A tarefa é descobrir as coordenadas do vetor nessa base .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e mudança de base. Basicamente, queremos encontrar quais multiplicadores (ou coordenadas) multiplicados pelos vetores da base resultam no vetor .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o que estamos procurando. Queremos encontrar números , e tais que:
Substituindo os vetores, temos:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela primeira equação:
a = 5
Já temos o valor de a. Agora, vamos para a segunda equação:
2a + b = 4
Substituindo a = 5:
2 cdot 5 + b = 4 10 + b = 4 b = 4 - 10 b = -6
Pronto, temos a = 5 e b = -6.
Passo 4
Por fim, vamos para a terceira equação:
3a + 2b + c = 2
Substituindo a = 5 e b = -6:
3 cdot 5 + 2 cdot (-6) + c = 2 15 - 12 + c = 2 3 + c = 2 c = 2 - 3 c = -1
Agora, temos todos os valores: a = 5, b = -6, e c = -1.
Resposta
As coordenadas de u=(5,4,2) na base beta são (5, -6, -1).