Seja a sequencia a_n = (1 * 4 * 7 * ... * (3n - 2)) / (1 * 6 * 11 * ... * (5n - 4)).
Verifique se ela é ou não limitada.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma sequência definida por:
Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência é limitada, ou seja, se existe um número que a sequência não ultrapassa, tanto para cima quanto para baixo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências e limites, além de trabalhar com produtos e propriedades de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a sequência é formada. No numerador, temos uma progressão aritmética onde cada termo aumenta de 3 em 3, começando em 1:
No denominador, também temos uma progressão aritmética, mas com incremento de 5, começando em 1:
Então, o termo geral da sequência é o produto desses termos até o n-ésimo termo no numerador dividido pelo produto dos termos até o n-ésimo termo no denominador.

Passo 3

Para analisar se a sequência é limitada, vamos tentar simplificar a expressão. Vamos expressar os produtos como fatorial:
No numerador:
No denominador:
Na verdade, não é bem fatorial, mas podemos comparar a taxa de crescimento dos termos.

Passo 4

Vamos observar o comportamento dos termos da sequência conforme n cresce. No numerador, cada termo é aproximadamente 3 vezes o índice, e no denominador, cada termo é aproximadamente 5 vezes o índice. Isso sugere que o denominador cresce mais rápido que o numerador.
Podemos reescrever a razão geral dos termos:
Isso indica que, para termos grandes, a sequência tende a se aproximar de , que vai a zero conforme n aumenta.

Passo 5

Como a sequência tende a zero e todos os termos são positivos, podemos concluir que ela está sempre entre 0 e algum valor inicial. Portanto, ela não cresce para infinito nem diminui para menos infinito.

Resposta

A sequência a_n = (1 * 4 * 7 * ... * (3n - 2)) / (1 * 6 * 11 * ... * (5n - 4)) é limitada.

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Seja a sequencia a_n = (1 * 4 * 7 * ... * (3n - 2)) / (1 * 6 * 11 * ... * (5n - 4)).
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