Seja a sequencia
.
Verifique se ela é ou não monótona.
Verifique se ela é ou não monótona.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma sequência definida por
e pede para verificarmos se ela é monótona, ou seja, se está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Para resolver isso, vamos precisar entender como as sequências funcionam e analisar o comportamento dos termos conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a sequência. No numerador, temos uma sequência que começa em 1 e aumenta de 3 em 3: 1, 4, 7, …, até
. No denominador, a sequência começa em 1 e aumenta de 5 em 5: 1, 6, 11, …, até
.
Para simplificar, podemos reescrever
como:
Aqui,
representa o produto dos termos desde
até
.
Passo 3
Para verificar se a sequência é monótona, vamos analisar a razão entre
e
. Se essa razão for sempre menor que 1, a sequência está diminuindo; se for sempre maior que 1, está aumentando.
Calculando a razão:
Passo 4
Agora, vamos comparar
com
. Observamos que, para todo
:
Isso significa que:
Passo 5
Como a razão
é sempre menor que 1, concluímos que cada termo da sequência é menor que o anterior. Portanto, a sequência está sempre diminuindo conforme
aumenta.
Resposta
A sequência
é monótona decrescente.
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Seja a sequencia
.
Verifique se ela é ou não limitada.
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Calcule as seguintes integrais definidas:
Seja a sequencia
.
Verifique se o limite de existe ou não.
Verifique se o limite de
Calcule o valor da soma
.