Esboce e calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo-
da regiào sob a curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai calcular o volume de um sólido que aparece quando a área sob a curva
entre
e
gira ao redor do eixo
. Isso envolve um conteúdo de Cálculo Integral, especialmente a técnica de Método dos Discos para encontrar volumes de sólidos de revolução. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica usando integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Método dos Discos. Quando a região sob uma curva gira em torno de um eixo, a figura resultante pode ser dividida em muitos discos finos. O volume total é a soma desses volumes infinitesimais.
A fórmula para o volume
é:
Aqui,
é a função que define a curva, e
é o raio ao quadrado do disco em cada ponto
.
Passo 3
No nosso caso, a função é
, o intervalo de integração vai de
até
. Então, substituindo na fórmula, temos:
Simplificando
, fica
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral. A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração, mas como estamos fazendo uma integral definida, a gente não precisa considerar
.
Passo 5
Aplicando os limites de integração de 1 a 3:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Encontre o limite da sequência
.
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Calcule as seguintes integrais definidas:
Seja a sequencia
.
Verifique se ela é ou não limitada.
Verifique se ela é ou não limitada.