Esboce e calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo- x da regiào sob a curva y = x^2 com 1 <= x <= 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai calcular o volume de um sólido que aparece quando a área sob a curva entre e gira ao redor do eixo . Isso envolve um conteúdo de Cálculo Integral, especialmente a técnica de Método dos Discos para encontrar volumes de sólidos de revolução. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica usando integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Método dos Discos. Quando a região sob uma curva gira em torno de um eixo, a figura resultante pode ser dividida em muitos discos finos. O volume total é a soma desses volumes infinitesimais.
A fórmula para o volume é:
Aqui, é a função que define a curva, e é o raio ao quadrado do disco em cada ponto .

Passo 3

No nosso caso, a função é , o intervalo de integração vai de até . Então, substituindo na fórmula, temos:
Simplificando , fica , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração, mas como estamos fazendo uma integral definida, a gente não precisa considerar .

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 1 a 3:
Calculando os valores:
Então:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Encontre o limite da sequência a_n = (3n + cos(pi n)) / (n + 2).
Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral x^2 sen(x^3+1) d x
Calcule as seguintes integrais definidas: integral0^4 6 raizx d x
Seja a sequencia a_n = (1 * 4 * 7 * ... * (3n - 2)) / (1 * 6 * 11 * ... * (5n - 4)).
Verifique se ela é ou não limitada.