Calcule o valor da soma sumn=3^infty 1(n-1)(n-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma da série infinita . Esse problema envolve conceitos de séries infinitas e frações parciais, que vão nos ajudar a simplificar a expressão e encontrar a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração usando frações parciais. Isso significa que a gente vai reescrever essa fração como a soma de duas outras frações mais simples.

Passo 3

Vamos supor que:
1(n-1)(n-2) = An-2 + Bn-1
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por 1 = A(n-1) + B(n-2) para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, vamos resolver para 1 = A(2-1) + B(2-2) Rightarrow 1 = A(1) + B(0) Rightarrow A = 1 e 1 = A(1-1) + B(1-2) Rightarrow 1 = A(0) + B(-1) Rightarrow B = -1 . Vamos escolher valores de que simplifiquem a equação.
Para :
Para :

Passo 6

Com 1(n-1)(n-2) = 1n-2 - 1n-1 e , a fração original fica:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na soma:
sumn=3^infty ( 1n-2 - 1n-1 )
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam.

Passo 8

Vamos escrever os primeiros termos para ver o padrão:
( 11 - 12 ) + ( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + dots
Observamos que , , etc., se cancelam.

Passo 9

No final, resta apenas o primeiro termo que não foi cancelado:
11 = 1

Resposta

A soma da série é igual a .

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