Calcule o valor da soma
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma da série infinita
. Esse problema envolve conceitos de séries infinitas e frações parciais, que vão nos ajudar a simplificar a expressão e encontrar a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
usando frações parciais. Isso significa que a gente vai reescrever essa fração como a soma de duas outras frações mais simples.
Passo 3
Vamos supor que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
e
. Vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação.
Para
:
Para
:
Passo 6
Com
e
, a fração original fica:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na soma:
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam.
Passo 8
Vamos escrever os primeiros termos para ver o padrão:
Observamos que
,
, etc., se cancelam.
Passo 9
No final, resta apenas o primeiro termo que não foi cancelado:
Resposta
A soma da série
é igual a
.
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.
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.
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Determine se a série
converge ou diverge.
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