Seja
e dado
. Encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função vetorial
e um ponto inicial
. Nosso trabalho é encontrar a função
. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente integração de funções vetoriais. Para resolver, a gente vai precisar integrar cada componente da função
e usar a condição inicial para encontrar as constantes de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função derivada
separadamente para as componentes
e
:
Nosso objetivo é integrar cada uma dessas componentes em relação a
para encontrar
.
Passo 3
Vamos começar integrando a componente
:
Essa integral envolve o produto de uma função exponencial e uma função trigonométrica. Uma técnica comum para resolver isso é usar a integração por partes ou reconhecer uma fórmula padrão. A integral de
resulta em:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos integrar a componente
:
Similarmente à componente
, usamos técnicas de integração por partes ou uma fórmula padrão. A integral de
é:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Agora, juntamos as integrais das duas componentes para escrever a função geral
:
Passo 6
Para determinar as constantes de integração
e
, usamos a condição inicial fornecida:
.
Vamos substituir
na expressão de
:
Simplificando:
Igualando com
:
Passo 7
Substituindo
e
na expressão de
:
Podemos simplificar fatorando o
:
Resposta
Portanto, a função vetorial procurada é:
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Suponha que
e
sejam funções com valores vetoriais, definidas em um intervalo, e
seja derivável no intervalo. Mostre que