Seja sigma'(t) = e^t sen(t) i + e^t cos(t) j e dado sigma(0) = i - j. Encontre sigma(t).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função vetorial e um ponto inicial . Nosso trabalho é encontrar a função sigma(t). A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente integração de funções vetoriais. Para resolver, a gente vai precisar integrar cada componente da função e usar a condição inicial para encontrar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função derivada separadamente para as componentes i e j:
Nosso objetivo é integrar cada uma dessas componentes em relação a t para encontrar sigma(t).

Passo 3

Vamos começar integrando a componente i:
Essa integral envolve o produto de uma função exponencial e uma função trigonométrica. Uma técnica comum para resolver isso é usar a integração por partes ou reconhecer uma fórmula padrão. A integral de resulta em:
Aqui, é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos integrar a componente j:
Similarmente à componente i, usamos técnicas de integração por partes ou uma fórmula padrão. A integral de é:
Onde é outra constante de integração.

Passo 5

Agora, juntamos as integrais das duas componentes para escrever a função geral sigma(t):

Passo 6

Para determinar as constantes de integração e , usamos a condição inicial fornecida: .
Vamos substituir na expressão de sigma(t):
Simplificando:
Igualando com :

Passo 7

Substituindo e na expressão de sigma(t):
Podemos simplificar fatorando o 1/2:

Resposta

Portanto, a função vetorial procurada é:

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