Calcule as integrais indefinidas:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão que temos é calcular a integral indefinida:
Esse exercício envolve o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente a integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar divisão polinomial e frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o denominador para facilitar a divisão. O denominador
pode ser reescrito em ordem decrescente de
:
Passo 3
Agora, vamos observar os graus dos polinômios no numerador e no denominador. O grau do numerador
é 3, e o grau do denominador
é 2. Como o grau do numerador é maior, precisamos fazer uma divisão polinomial antes de prosseguir.
Passo 4
Vamos dividir
por
:
- Dividimos o termo de maior grau do numerador pelo termo de maior grau do denominador:
- Multiplicamos
pelo denominador: - Subtraímos esse resultado do numerador:
Passo 5
Como ainda temos um polinômio de grau 2 no resto
, repetimos a divisão:
- Dividimos
por : - Multiplicamos
pelo denominador: - Subtraímos esse resultado do resto anterior:
Passo 6
Agora, nossa divisão nos deu:
Vamos focar na fração
para integrá-la. Primeiro, fatoramos o denominador:
Passo 7
Agora, aplicamos frações parciais para decompor
:
Supomos que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Expandindo o lado direito:
Agora, igualamos os coeficientes:
Passo 9
Resolvendo o sistema de equações:
- Da primeira equação:
- Substituindo na segunda equação:
- Então:
Passo 10
Com isso, podemos reescrever a fração:
Passo 11
Agora, voltamos à nossa expressão original para integrar:
Passo 12
Integrando cada termo separadamente:
Passo 13
Juntando todos os resultados:
Resposta
A integral indefinida é:
Exercícios relacionados
Nos exercícios seguintes encontre
e
.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Calcule as integrais indefinidas:
Resposta:
Seja
e dado
. Encontre
.