Calcule as integrais indefinidas: integral x^3+112+7 x+x^2 d x Resposta: x^22-7 x+63 ln |x+4|-26 ln |x+3|+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão que temos é calcular a integral indefinida:
integral x^3+112+7 x+x^2 , dx
Esse exercício envolve o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente a integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar divisão polinomial e frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o denominador para facilitar a divisão. O denominador x^2 + 7x + 12 pode ser reescrito em ordem decrescente de :

Passo 3

Agora, vamos observar os graus dos polinômios no numerador e no denominador. O grau do numerador é 3, e o grau do denominador é 2. Como o grau do numerador é maior, precisamos fazer uma divisão polinomial antes de prosseguir.

Passo 4

Vamos dividir x^3x^2 = x por x cdot (x^2 + 7x + 12) = x^3 + 7x^2 + 12x :
  1. Dividimos o termo de maior grau do numerador pelo termo de maior grau do denominador: (x^3 + 1) - (x^3 + 7x^2 + 12x) = -7x^2 - 12x + 1
  2. Multiplicamos pelo denominador:
  3. Subtraímos esse resultado do numerador:

Passo 5

Como ainda temos um polinômio de grau 2 no resto -7x^2x^2 = -7 , repetimos a divisão:
  1. Dividimos -7 cdot (x^2 + 7x + 12) = -7x^2 - 49x - 84 por (-7x^2 - 12x + 1) - (-7x^2 - 49x - 84) = 37x + 85 :
  2. Multiplicamos pelo denominador:
  3. Subtraímos esse resultado do resto anterior:

Passo 6

Agora, nossa divisão nos deu:
x^3 + 1x^2 + 7x + 12 = x - 7 + 37x + 85x^2 + 7x + 12
Vamos focar na fração x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) para integrá-la. Primeiro, fatoramos o denominador:

Passo 7

Agora, aplicamos frações parciais para decompor 37x + 85(x + 3)(x + 4) = Ax + 3 + Bx + 4 :
Supomos que:
37x + 85 = A(x + 4) + B(x + 3)
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Expandindo o lado direito:
37x + 85 = A x + 4A + B x + 3B = (A + B)x + (4A + 3B)
Agora, igualamos os coeficientes:
A + B = 37 e 4A + 3B = 85

Passo 9

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da primeira equação: A = 37 - B
  2. Substituindo na segunda equação: 4(37 - B) + 3B = 85 148 - 4B + 3B = 85 -B = -63 B = 63
  3. Então: A = 37 - 63 = -26

Passo 10

Com isso, podemos reescrever a fração:
37x + 85(x + 3)(x + 4) = -26x + 3 + 63x + 4

Passo 11

Agora, voltamos à nossa expressão original para integrar:
integral x^3 + 1x^2 + 7x + 12 , dx = integral ( x - 7 + -26x + 3 + 63x + 4 ) dx

Passo 12

Integrando cada termo separadamente:

Passo 13

Juntando todos os resultados:
x^22 - 7x - 26 ln|x + 3| + 63 ln|x + 4| + C

Resposta

A integral indefinida é:
x^22 - 7x + 63 ln |x+4| - 26 ln |x+3| + C

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