circledast Calcule a função com valores vetoriais mais geral, cuja derivada é
sigma(t) = sen(t) * i - 3 * cos(t) * j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a função vetorial mais geral cuja derivada é . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente à integração de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar integrar cada componente da função derivada em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a função original a partir da sua derivada, precisamos fazer a antiderivada ou integração de cada componente da derivada. Como estamos lidando com funções vetoriais, isso significa que vamos integrar cada parte que está multiplicada pelos vetores e separadamente.

Passo 3

Vamos integrar a componente que está na direção de :
A antiderivada de é , então:
Agora, vamos integrar a componente na direção de :
A antiderivada de é , então:

Passo 4

Agora, juntamos as duas componentes integradas e adicionamos os vetores constantes de integração:
Onde e são constantes que podem assumir qualquer valor real, representando a família de soluções gerais para a função original.

Resposta

A função vetorial mais geral é:
Onde e são constantes reais.

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Nos exercícios seguintes encontre sigma'(t) e sigma''(t).
(a) sigma(t) = (t^2 - 3) i + (2t + 1) j
(b) sigma(t) = e^(2 t) i + ln(t) j
© sigma(t) = cos(2t) i + tan(t) j
(d) sigma(t) = arctan(2t)i + 2^t j
Seja sigma'(t) = e^t sen(t) i + e^t cos(t) j e dado sigma(0) = i - j. Encontre sigma(t).
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