Calcule a função com valores vetoriais mais geral, cuja derivada é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a função vetorial mais geral cuja derivada é . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente à integração de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar integrar cada componente da função derivada em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a função original a partir da sua derivada, precisamos fazer a antiderivada ou integração de cada componente da derivada. Como estamos lidando com funções vetoriais, isso significa que vamos integrar cada parte que está multiplicada pelos vetores
e
separadamente.
Passo 3
Vamos integrar a componente que está na direção de
:
A antiderivada de é
, então:
Agora, vamos integrar a componente na direção de
:
A antiderivada de
é , então:
Passo 4
Agora, juntamos as duas componentes integradas e adicionamos os vetores constantes de integração:
Onde
e
são constantes que podem assumir qualquer valor real, representando a família de soluções gerais para a função original.
Resposta
A função vetorial mais geral é:
Onde
e
são constantes reais.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais indefinidas:
Resposta:
Nos exercícios seguintes encontre
e
.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Seja
e dado
. Encontre
.
Calcule as integrais indefinidas:
Resposta: