Seja X sim N(100,25), calcule:
c) P(112 <= X <= 116);

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma variável aleatória que segue uma distribuição normal, ou seja, . Isso significa que a média ( ) é 100 e a variância ( ) é 25, então o desvio padrão ( ) é 5. A pergunta quer saber qual a probabilidade de estar entre 112 e 116. Para resolver isso, vamos usar a padronização da distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é padronização. A padronização transforma a nossa variável Z = X - musigma em uma variável que segue a distribuição normal padrão, ou seja, . A fórmula para padronizar é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos padronizar os valores 112 e 116 usando a fórmula acima.
Para Z1 = 112 - 1005 = 125 = 2,4 :
Z2 = 116 - 1005 = 165 = 3,2
Para :

Passo 4

Agora queremos encontrar , que é o mesmo que na distribuição padrão. Para isso, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora que dê essas probabilidades.

Passo 5

Consultando a tabela ou usando uma calculadora:
P(Z <= 3,2) approx 0,9993
P(Z <= 2,4) approx 0,9918

Passo 6

A probabilidade que a gente quer é a diferença entre essas duas probabilidades:
P(2,4 <= Z <= 3,2) = P(Z <= 3,2) - P(Z <= 2,4) = 0,9993 - 0,9918 = 0,0075

Resposta

A probabilidade de estar entre 112 e 116 é aproximadamente 0,75%.

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