Valor da variável
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Probabilidade |
---|---|
2 |
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3 |
|
4 |
|
Baseado nesta distribuição populacional, calcule a média e a variância de
, considerando amostras aleatórias de tamanho 2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória
com três valores possíveis: 2, 3 e 4, cada um ocorrendo com a mesma probabilidade de
. O que precisamos calcular é a média (
) e a variância (
) da média amostral
, considerando que tiramos amostras aleatórias de tamanho 2. Para isso, vamos usar conceitos de estatística sobre média e variância de amostras.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média populacional (
) da variável
. A média é encontrada somando todos os valores de
multiplicados por suas respectivas probabilidades:
Calculando cada termo:
Somando todos os termos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância populacional (
) de
. A variância é a média dos quadrados dos desvios dos valores em relação à média:
Substituindo
:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 4
Sabemos que quando tiramos uma amostra de tamanho
da população, a média amostral
tem uma média igual à média populacional e uma variância igual à variância populacional dividida por
. Isso é conhecido como Teorema Central do Limite para amostras.
Então,
Resposta
Para uma amostra de tamanho 2, a média amostral
tem: