Valor da variável X Probabilidade
2 1 / 3
3 1 / 3
4 1 / 3
Baseado nesta distribuição populacional, calcule a média e a variância de barX, considerando amostras aleatórias de tamanho 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória com três valores possíveis: 2, 3 e 4, cada um ocorrendo com a mesma probabilidade de . O que precisamos calcular é a média ( ) e a variância ( ) da média amostral , considerando que tiramos amostras aleatórias de tamanho 2. Para isso, vamos usar conceitos de estatística sobre média e variância de amostras.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média populacional ( muX = sum (X times P(X)) = 2 times 13 + 3 times 13 + 4 times 13 ) da variável 2 times 13 = 23, 3 times 13 = 1, 4 times 13 = 43 . A média é encontrada somando todos os valores de muX = 23 + 1 + 43 = 23 + 33 + 43 = 93 = 3 multiplicados por suas respectivas probabilidades:
Calculando cada termo:
Somando todos os termos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância populacional ( sigma^2X = sum ( (X - muX)^2 times P(X) ) ) de sigma^2X = (2 - 3)^2 times 13 + (3 - 3)^2 times 13 + (4 - 3)^2 times 13 . A variância é a média dos quadrados dos desvios dos valores em relação à média:
(2 - 3)^2 = 1, (3 - 3)^2 = 0, (4 - 3)^2 = 1
Substituindo sigma^2X = 1 times 13 + 0 times 13 + 1 times 13 = 13 + 0 + 13 = 23 :
Calculando cada termo:
Então:

Passo 4

Sabemos que quando tiramos uma amostra de tamanho mubarX = muX da população, a média amostral sigma^2barX = sigma^2Xn tem uma média igual à média populacional e uma variância igual à variância populacional dividida por . Isso é conhecido como Teorema Central do Limite para amostras.
Então,

Resposta

Para uma amostra de tamanho 2, a média amostral mubarX = 3 tem:
sigma^2barX = 23 div 2 = 13

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