Valor da variável Probabilidade
2
3
4
Baseado nesta distribuição populacional, calcule a média e a variância de , considerando amostras aleatórias de tamanho 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória com três valores possíveis: 2, 3 e 4, cada um ocorrendo com a mesma probabilidade de . O que precisamos calcular é a média ( ) e a variância ( ) da média amostral , considerando que tiramos amostras aleatórias de tamanho 2. Para isso, vamos usar conceitos de estatística sobre média e variância de amostras.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média populacional ( ) da variável . A média é encontrada somando todos os valores de multiplicados por suas respectivas probabilidades:
Calculando cada termo:
Somando todos os termos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância populacional ( ) de . A variância é a média dos quadrados dos desvios dos valores em relação à média:
Substituindo :
Calculando cada termo:
Então:

Passo 4

Sabemos que quando tiramos uma amostra de tamanho da população, a média amostral tem uma média igual à média populacional e uma variância igual à variância populacional dividida por . Isso é conhecido como Teorema Central do Limite para amostras.
Então,

Resposta

Para uma amostra de tamanho 2, a média amostral tem:

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Suponha que um processo de fabricação produza determinado tipo de peças e cerca de são consideradas defeituosas. Se 150 peças forem inspecionadas, qual seria a probabilidade de 25 ou menos peças defeituosas serem encontradas? Calcule a probabilidade exata e, em seguida, caso seja possível, recalcule utilizando-se de uma aproximação. R.:
de filhos Porcentagem
0 10
1 20
2 30
3 25
4 15
Total 100
b) Dê, na forma de uma tabela de dupla entrada, as possíveis amostras do número de filhos de duas famílias que podem ser sorteadas e as respectivas probabilidades de ocorrência.
Seja , calcule:
c) ;