Seja o solido que está entre acima da superficie e dentro da superficie .
a) (2 pontos) Escreva uma integral que corresponde ao volume do solilido .

Passo 1

Então, a gente tem um sólido chamado que está acima da superfície e dentro da esfera . Nosso objetivo aqui é escrever uma integral que calcule o volume desse sólido. Para isso, vamos precisar usar coordenadas cilindricas porque as superfícies têm simetria circular, o que facilita na hora de definir os limites da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, temos:
E a distância ao quadrado é .

Passo 3

A superfície em coordenadas cilíndricas fica:
Isso nos dá o limite inferior para .

Passo 4

A esfera em coordenadas cilíndricas fica:
Esse é o limite superior para .

Passo 5

Agora, vamos definir os limites para e . Como a figura é simétrica em torno do eixo , varia de a . Para , ele vai de até o ponto onde as duas superfícies se encontram. Igualando , resolvendo encontramos .

Passo 6

Com todos os limites definidos, podemos escrever a integral tripla para o volume do sólido :

Resposta

A integral que corresponde ao volume do sólido é:

Exercícios relacionados

Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
(f)
Seja ( ) as coordenadas do vértice da parábola e o ponto de interseção entre as retas
b) (4 pontos) Calcule
Considere a equação diferencial
a) (3 pontos) Determine a solução geral da equação diferencial acima.
Solucione os problemas abaixo:
a) Kiko deve ter aula de tênis três vezes por semana, durante um ano. Quantos são os modos de escolher os dias de aula, se Kiko não deseja ter aulas em dias consecutivos?