Seja
uma série convergente e
uma sequência limitada.
$(a) Prove que se
então
converge.
$(a) Prove que se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita
que é convergente, ou seja, ela soma até um número finito. Além disso, temos uma sequência
que é limitada, o que significa que existe um número
tal que
para todo
. A questão nos pede para provar que, se todos os termos
são maiores ou iguais a zero (
), então a série
também converge. Vamos precisar entender sobre séries convergentes, sequências limitadas e aplicar o Teste da Comparação para séries.
Passo 2
Primeiro, como
é uma sequência limitada, podemos afirmar que existe um número real positivo
tal que
para todo
. Isso é importante porque nos dá um limite para os termos
.
Passo 3
Sabemos que todos os
são não negativos (
). Isso facilita o uso do Teste da Comparação, pois podemos comparar os termos das duas séries diretamente sem nos preocupar com sinais negativos.
Passo 4
Vamos analisar os termos da série
. Como
, temos:
Ou seja:
Isso mostra que cada termo da série
está limitado pelo termo correspondente da série
.
Passo 5
Agora, observamos que a série
é simplesmente
vezes a série
. Como
é convergente e
é uma constante, a série
também é convergente (porque multiplicar uma série convergente por uma constante preserva a convergência).
Passo 6
Aplicando o Teste da Comparação: se
converge e
para todo
, então a série
também converge.
Passo 7
Como
converge, isso implica que a série
é absolutamente convergente. E quando uma série é absolutamente convergente, ela também é convergente.
Resposta
Portanto, se
é uma série convergente com
e
é uma sequência limitada, então a série
também converge.
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Determine a solução geral das equações de Cauchy-Euler não homogêneas, para
.
.
Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
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