Seja sumk=1^infty ak uma série convergente e bk uma sequência limitada.
$(a) Prove que se (a) Prove que se então então converge.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita que é convergente, ou seja, ela soma até um número finito. Além disso, temos uma sequência que é limitada, o que significa que existe um número tal que para todo . A questão nos pede para provar que, se todos os termos são maiores ou iguais a zero ( ), então a série também converge. Vamos precisar entender sobre séries convergentes, sequências limitadas e aplicar o Teste da Comparação para séries.

Passo 2

Primeiro, como é uma sequência limitada, podemos afirmar que existe um número real positivo tal que para todo . Isso é importante porque nos dá um limite para os termos .

Passo 3

Sabemos que todos os são não negativos ( ). Isso facilita o uso do Teste da Comparação, pois podemos comparar os termos das duas séries diretamente sem nos preocupar com sinais negativos.

Passo 4

Vamos analisar os termos da série |ak bk| = ak |bk| <= ak M . Como |ak bk| <= M ak , temos:
Ou seja:
Isso mostra que cada termo da série está limitado pelo termo correspondente da série .

Passo 5

Agora, observamos que a série é simplesmente vezes a série . Como é convergente e é uma constante, a série também é convergente (porque multiplicar uma série convergente por uma constante preserva a convergência).

Passo 6

Aplicando o Teste da Comparação: se converge e para todo , então a série também converge.

Passo 7

Como converge, isso implica que a série é absolutamente convergente. E quando uma série é absolutamente convergente, ela também é convergente.

Resposta

Portanto, se é uma série convergente com e é uma sequência limitada, então a série também converge.

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