Determine a solução geral das equações de Cauchy-Euler não homogêneas, para x > 0. x^2 y'' - 3 x y' + 3 y = 2 x^2 e^x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Cauchy-Euler não homogênea: , para . A matéria envolvida aqui é a resolução de equações diferenciais de Cauchy-Euler, que são um tipo especial de equações diferenciais lineares. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a solução geral, que inclui a solução da parte homogênea e uma solução particular da parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: .
Nas equações de Cauchy-Euler, fazemos a substituição , onde é um número que vamos determinar. Vamos calcular as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Fatorando :
Como para , temos a equação característica:
Resolvendo a equação do segundo grau:
Então, a solução geral da parte homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea: .
Para isso, vamos usar o método da variação de parâmetros. Primeiro, precisamos das soluções da homogênea, que já encontramos: e .
A solução particular será da forma:
Onde e são funções a serem determinadas. Para encontrá-las, usamos as seguintes fórmulas:
Aqui, é o lado direito da equação dividida por , ou seja, , e é o Wronskiano das soluções homogêneas.
Calculando o Wronskiano :
Agora, calculamos e :
Integrando para encontrar e :
A integral de não tem uma forma elementar, então vamos fazer uma aproximação. Geralmente, para casos como esse, usamos séries ou reconhecemos que a solução particular pode ser expressa de outra maneira. Porém, para simplificar, vamos considerar que envolve uma função especial e focar na estrutura da solução.
Assim, a solução particular fica:
Portanto, a solução geral é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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