Determine a solução geral das equações de Cauchy-Euler não homogêneas, para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial de Cauchy-Euler não homogênea para resolver em
:
Esse tipo de equação aparece no estudo de equações diferenciais e envolve encontrar uma função
que satisfaça a equação. Para resolver, vamos precisar entender como resolver uma equação de Cauchy-Euler homogênea e depois achar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A equação de Cauchy-Euler homogênea tem a forma geral:
Para resolver, fazemos a substituição
, onde
é uma constante a ser encontrada.
Passo 3
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Passo 4
A equação característica é
, então a única raiz é
, com multiplicidade 2. Isso significa que as soluções da equação homogênea são:
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Como o lado direito é
, vamos supor que
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação não homogênea:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, a solução particular é:
Passo 7
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Seja
uma série convergente e
uma sequência limitada.
$(a) Prove que se então
converge.
$(a) Prove que se
Determine a solução geral das equações de Cauchy-Euler não homogêneas, para
.
.
Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Seja
uma série convergente e
uma sequência limitada.
$(b) A afirmação resta verdadeira se retiramos a condição sobre os termos ?
$(b) A afirmação resta verdadeira se retiramos a condição sobre os termos