Determine a solução geral das equações de Cauchy-Euler não homogêneas, para x > 0. x^2 y'' + x y' = x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial de Cauchy-Euler não homogênea para resolver em :
Esse tipo de equação aparece no estudo de equações diferenciais e envolve encontrar uma função que satisfaça a equação. Para resolver, vamos precisar entender como resolver uma equação de Cauchy-Euler homogênea e depois achar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A equação de Cauchy-Euler homogênea tem a forma geral:
Para resolver, fazemos a substituição , onde é uma constante a ser encontrada.

Passo 3

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:

Passo 4

A equação característica é , então a única raiz é , com multiplicidade 2. Isso significa que as soluções da equação homogênea são:

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o lado direito é , vamos supor que , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação não homogênea:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Então, a solução particular é:

Passo 7

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Seja sumk=1^infty ak uma série convergente e bk uma sequência limitada.
$(a) Prove que se (a) Prove que se então então converge.
Determine a solução geral das equações de Cauchy-Euler não homogêneas, para x > 0. x^2 y'' - 3 x y' + 3 y = 2 x^2 e^x.
Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
4 y'' + 4 y + 1 = 0, y(2) = 0, y'(2) = 1/e
Seja sumk=1^infty ak uma série convergente e bk uma sequência limitada.
$(b) A afirmação resta verdadeira se retiramos a condição sobre os termos (b) A afirmação resta verdadeira se retiramos a condição sobre os termos ?