Seja T o conjunto formado por números
coma, be c
e i e j operadores tais que
e
. Verifique se T é um corpo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um conjunto
formado por números da forma
, onde
são números reais. As letras
e
são operadores que seguem as regras
,
e
. O objetivo aqui é verificar se esse conjunto
forma um corpo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre corpos e anéis. Precisamos verificar se todas as propriedades necessárias para ser um corpo são satisfeitas por
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um corpo. Um corpo é um conjunto onde podemos realizar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto por zero) e todas essas operações obedecem a certas propriedades, como a comutatividade, associatividade, existência de elementos neutros e inversos.
Então, para
ser um corpo, ele precisa cumprir todas essas propriedades.
Passo 3
Vamos analisar as operações de adição e multiplicação em
.
Adição: Se tomarmos dois elementos
e
em
, a soma será:
A adição é bem definida e satisfaz as propriedades de fechamento, associatividade e comutatividade.
Multiplicação: Vamos multiplicar
e
:
Substituindo as relações dadas:
Simplificando, a multiplicação também está bem definida.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se
tem elementos neutros e inversos.
Elemento neutro da adição: É
, que claramente está em
.
Elemento neutro da multiplicação: É
, também pertencente a
.
Inverso aditivo: Para qualquer
, o inverso aditivo é
, que está em
.
Inverso multiplicativo: Este é mais complicado. Para que todo elemento não nulo tenha inverso multiplicativo, a multiplicação deve ser inversível. No entanto, ao tentar encontrar um inverso geral, percebemos que a estrutura definida por
e
leva a complicações que impedem que todos os elementos tenham inverso multiplicativo.
Passo 5
Além disso, para ser um corpo, a multiplicação deve ser comutativa. Vamos verificar se
.
Dado que
, a multiplicação parece ser comutativa nesse aspecto específico. Contudo, a presença de
e
introduz efeitos que violam a comutatividade geral necessária para um corpo.
Resposta
Portanto, o conjunto
não é um corpo, pois nem todos os elementos não nulos possuem inverso multiplicativo e a estrutura definida por
e
não satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um corpo.