Seja T o conjunto formado por números
t=a+ib+jc
coma, be c in R e i e j operadores tais que i^2=j, j^2=-i e i j= j i=-1. Verifique se T é um corpo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um conjunto formado por números da forma , onde são números reais. As letras e são operadores que seguem as regras , e . O objetivo aqui é verificar se esse conjunto forma um corpo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre corpos e anéis. Precisamos verificar se todas as propriedades necessárias para ser um corpo são satisfeitas por .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um corpo. Um corpo é um conjunto onde podemos realizar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto por zero) e todas essas operações obedecem a certas propriedades, como a comutatividade, associatividade, existência de elementos neutros e inversos.
Então, para ser um corpo, ele precisa cumprir todas essas propriedades.

Passo 3

Vamos analisar as operações de adição e multiplicação em t1 + t2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2) + j(c1 + c2) .
Adição: Se tomarmos dois elementos t1 times t2 = (a1a2 + i a1 b2 + j a1 c2 + i b1 a2 + i^2 b1 b2 + ij b1 c2 + j c1 a2 + ji c1 b2 + j^2 c1 c2) e i^2 = j, j^2 = -i, ij = ji = -1 em , a soma será:
A adição é bem definida e satisfaz as propriedades de fechamento, associatividade e comutatividade.
Multiplicação: Vamos multiplicar e :
Substituindo as relações dadas:
Simplificando, a multiplicação também está bem definida.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se tem elementos neutros e inversos.
Elemento neutro da adição: É , que claramente está em .
Elemento neutro da multiplicação: É , também pertencente a .
Inverso aditivo: Para qualquer , o inverso aditivo é , que está em .
Inverso multiplicativo: Este é mais complicado. Para que todo elemento não nulo tenha inverso multiplicativo, a multiplicação deve ser inversível. No entanto, ao tentar encontrar um inverso geral, percebemos que a estrutura definida por e leva a complicações que impedem que todos os elementos tenham inverso multiplicativo.

Passo 5

Além disso, para ser um corpo, a multiplicação deve ser comutativa. Vamos verificar se .
Dado que , a multiplicação parece ser comutativa nesse aspecto específico. Contudo, a presença de e introduz efeitos que violam a comutatividade geral necessária para um corpo.

Resposta

Portanto, o conjunto não é um corpo, pois nem todos os elementos não nulos possuem inverso multiplicativo e a estrutura definida por e não satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um corpo.

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