Seja x in R^3 um vetor qualquer. Diga se y=f(x) in U e justifique sua resposta.
(d) Seja um V um subconjunto de R^3, ou seja, V subset R^3, definido como
V=v: v=[c v1 v2 v1-3 ] ; v1, v2 in R
Diga se o conjunto formado pela interseção U cap V é um espaço vetorial. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! O problema fala sobre espaços vetoriais dentro de e nos pede para encontrar bases, a dimensão desse espaço, analisar uma transformação linear e verificar se a interseção de dois conjuntos é também um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como bases, dimensão de espaços vetoriais, transformações lineares e subespaços vetoriais.
Passo 2
Parte (a): Forneça duas bases diferentes para o espaço vetorial 1 + 0 - u3 = 0 Rightarrow u3 = 1.
Primeiro, vamos entender o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. No nosso caso, u1 = 1 0 1 é o conjunto de vetores 0 + 1 - u3 = 0 Rightarrow u3 = 1 que satisfazem a equação u2 = 0 1 1 .
Vamos achar dois vetores que satisfaçam essa equação e que sejam linearmente independentes.
Esses vetores são linearmente independentes e geram , formando uma base.
Para uma segunda base, podemos escolher vetores diferentes que também satisfazem a equação e sejam independentes.
Terceiro vetor:
Escolho e . A equação fica:
Então, o terceiro vetor é:
Quarto vetor:
Escolho e . A equação fica:
Então, o quarto vetor é:
Então, outra base para é .
Passo 3
Parte (b): Diga qual a dimensão do espaço vetorial .
A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base desse espaço. Na parte (a), encontramos que uma base para tem 2 vetores. Portanto, a dimensão de é 2.
Queremos ver se 1 0 1 é um espaço vetorial. Para isso, precisamos verificar se esse conjunto é não vazio e se é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Vamos encontrar os vetores que estão em v1 = v1 -3 v1 - 3 , v2 = w1 -3 w1 - 3 e em v1 + v2 = v1 + w1 -6 v1 + w1 - 6 .
Para estar também em , deve satisfazer . Substituindo :
Portanto, os vetores na interseção têm e . Então:
Esse conjunto pode ser descrito como todos os múltiplos de:
com um deslocamento constante, mas como é fixo em , o conjunto é não vazio, mas não é fechado sob adição ou multiplicação por escalar. Por exemplo, se tomarmos dois vetores na interseção:
A soma seria:
Aqui, o segundo componente é , que não é igual a , então a soma não pertence a . Portanto, não, a interseção não é um espaço vetorial.