Seja U um espaço vetorial linear, U subset R^3, tal que os vetores u in U geram o plano u1+u2-u3=0, com
u=[l u1 u2 u3 ]
(a) Forneça duas bases diferentes para o espaço vetorial U.
(b) Diga qual a dimensão do espaço vetorial U.
© Seja f uma transformação linear induzida pela matriz dada abaixo:
A=[ccc 2 / 3 & -1 / 3 & 1 / 3 -1 / 3 & 2 / 3 & 1 / 3 1 / 3 & 1 / 3 & 2 / 3 ]
Seja x in R^3 um vetor qualquer. Diga se y=f(x) in U e justifique sua resposta.
(d) Seja um V um subconjunto de R^3, ou seja, V subset R^3, definido como
V=v: v=[c v1 v2 v1-3 ] ; v1, v2 in R
Diga se o conjunto formado pela interseção U cap V é um espaço vetorial. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! O problema fala sobre espaços vetoriais dentro de e nos pede para encontrar bases, a dimensão desse espaço, analisar uma transformação linear e verificar se a interseção de dois conjuntos é também um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como bases, dimensão de espaços vetoriais, transformações lineares e subespaços vetoriais.

Passo 2

Parte (a): Forneça duas bases diferentes para o espaço vetorial 1 + 0 - u3 = 0 Rightarrow u3 = 1.

Primeiro, vamos entender o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. No nosso caso, u1 = 1 0 1 é o conjunto de vetores 0 + 1 - u3 = 0 Rightarrow u3 = 1 que satisfazem a equação u2 = 0 1 1 .
Vamos achar dois vetores que satisfaçam essa equação e que sejam linearmente independentes.
Primeiro vetor:
Escolho 2 + (-1) - u3 = 0 Rightarrow u3 = 1 e u3 = 2 -1 1 . Então, a equação fica:
-1 + 2 - u3 = 0 Rightarrow u3 = 1
Então, o primeiro vetor é:
u4 = -1 2 1
Segundo vetor:
Escolho e . A equação fica:
Então, o segundo vetor é:
Esses vetores são linearmente independentes e geram , formando uma base.
Para uma segunda base, podemos escolher vetores diferentes que também satisfazem a equação e sejam independentes.
Terceiro vetor:
Escolho e . A equação fica:
Então, o terceiro vetor é:
Quarto vetor:
Escolho e . A equação fica:
Então, o quarto vetor é:
Então, outra base para é .

Passo 3

Parte (b): Diga qual a dimensão do espaço vetorial .

A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base desse espaço. Na parte (a), encontramos que uma base para tem 2 vetores. Portanto, a dimensão de é 2.

Passo 4

Parte ©: Diga se A = 23 & -13 & 13 -13 & 23 & 13 13 & 13 & 23 e justifique sua resposta.

Aqui, y1 + y2 - y3 = (23x1 - 13x2 + 13x3) + (-13x1 + 23x2 + 13x3) - (13x1 + 13x2 + 23x3) é uma transformação linear dada pela matriz:
= 23x1 - 13x2 + 13x3 - 13x1 + 23x2 + 13x3 - 13x1 - 13x2 - 23x3
Queremos saber se, para qualquer vetor = (23 - 13 - 13)x1 + (-13 + 23 - 13)x2 + (13 + 13 - 23)x3 , o vetor = 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0 também está em .
Para isso, vamos verificar se satisfaz a equação que define , ou seja, se .
Vamos calcular :
Simplificando:
Somando os termos:
Como , sempre estará em . Portanto, sim, pertence a para todo .

Passo 5

Parte (d): Diga se o conjunto formado pela interseção V = v = v1 v2 v1 - 3 ; v1, v2 in R é um espaço vetorial. Justifique sua resposta.

Primeiro, vamos entender o que é v1 + v2 - (v1 - 3) = 0 Rightarrow v1 + v2 - v1 + 3 = 0 Rightarrow v2 + 3 = 0 Rightarrow v2 = -3 :
U cap V = v1 -3 v1 - 3 ; v1 in R
Queremos ver se 1 0 1 é um espaço vetorial. Para isso, precisamos verificar se esse conjunto é não vazio e se é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Vamos encontrar os vetores que estão em v1 = v1 -3 v1 - 3 , v2 = w1 -3 w1 - 3 e em v1 + v2 = v1 + w1 -6 v1 + w1 - 6 .
Para estar também em , deve satisfazer . Substituindo :
Portanto, os vetores na interseção têm e . Então:
Esse conjunto pode ser descrito como todos os múltiplos de:
com um deslocamento constante, mas como é fixo em , o conjunto é não vazio, mas não é fechado sob adição ou multiplicação por escalar. Por exemplo, se tomarmos dois vetores na interseção:
A soma seria:
Aqui, o segundo componente é , que não é igual a , então a soma não pertence a . Portanto, não, a interseção não é um espaço vetorial.

Resposta

(a) Duas bases para 1 0 1 são 0 1 1 e 2 -1 1.
(b) A dimensão de -1 2 1 é 2.
© Sim, para todo vetor , pertence a .
(d) Não, a interseção não é um espaço vetorial.

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