Seja um espaço vetorial linear, , tal que os vetores geram o plano , com
(a) Forneça duas bases diferentes para o espaço vetorial .
(b) Seja um um subconjunto de , ou seja, , definido como
Diga se o conjunto formado pela interseção é um espaço vetorial. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um espaço vetorial dentro de , onde os vetores satisfazem a condição . O conteúdo aqui envolve espaços vetoriais e bases. Para resolver as partes (a) e (b), vamos precisar saber como encontrar bases de um espaço vetorial e entender o que caracteriza a interseção de dois espaços vetoriais.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): Fornecer duas bases diferentes para o espaço vetorial .
Primeiro, precisamos descrever todos os vetores que pertencem a . Sabemos que para qualquer vetor , a relação deve ser verdadeira. Isso significa que . Então, podemos expressar da seguinte forma:
Aqui, vimos que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Portanto, uma base para é composta por esses dois vetores.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar duas bases diferentes para . Já temos uma base:
Vamos encontrar outra base. Podemos escolher outro vetor que também pertença a e seja linearmente independente dos anteriores. Por exemplo, vamos escolher .
Verificamos se esse vetor é linearmente independente dos vetores de . De fato, não podemos escrever como combinação dos outros dois vetores sem que todos os coeficientes sejam zero. Portanto, podemos formar uma segunda base:
Passo 4
Então, para a parte (a), temos duas bases diferentes para :
Essas bases são diferentes porque os conjuntos de vetores que as formam são distintos, mas ambos ainda geram o mesmo espaço vetorial .
Passo 5
Vamos para a parte (b): Determinar se a interseção é um espaço vetorial e justificar a resposta.
Primeiro, precisamos entender o que é . É dado por:
Isso significa que é um conjunto de vetores onde o segundo componente é o negativo do primeiro, e o terceiro componente é o dobro do primeiro.
Para encontrar a interseção , precisamos encontrar os vetores que pertencem a ambos os conjuntos e . Ou seja, queremos encontrar os vetores que satisfazem as duas condições:
:
:
Então, substituindo a forma de na condição de :
Isso confirma que qualquer vetor em já satisfaz a condição para estar em . Portanto:
Agora, para saber se é um espaço vetorial, precisamos verificar se ele satisfaz os axiomas de um espaço vetorial, como fechamento em adição e multiplicação por escalar, presença do vetor nulo, etc. De fato, é um subespaço de porque:
O vetor nulo está em (quando ).
Se , então .
Se é um escalar e , então .
Resposta
a) Duas bases diferentes para o espaço vetorial são:
b) Sim, o conjunto formado pela interseção é um espaço vetorial, pois ele coincide com , que satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial.