Seja um espaço vetorial linear, , tal que os vetores geram o plano , com
(a) Forneça duas bases diferentes para o espaço vetorial U.
(b) Seja um V um subconjunto de R^3, ou seja, V subset R^3, definido como
V=v: v=[c v1 -v1 2 v1 ] ; v1 in R
Diga se o conjunto formado pela interseção U cap V é um espaço vetorial. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um espaço vetorial U dentro de R^3, onde os vetores u satisfazem a condição u1 + u2 = 0. O conteúdo aqui envolve espaços vetoriais e bases. Para resolver as partes (a) e (b), vamos precisar saber como encontrar bases de um espaço vetorial e entender o que caracteriza a interseção de dois espaços vetoriais.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): Fornecer duas bases diferentes para o espaço vetorial U.
Primeiro, precisamos descrever todos os vetores que pertencem a U. Sabemos que para qualquer vetor u in U, a relação u1 + u2 = 0 deve ser verdadeira. Isso significa que u2 = -u1. Então, podemos expressar u da seguinte forma:
u = [c u1 -u1 u3 ] = u1[c 1 -1 0 ] + u3[c 0 0 1 ]
Aqui, vimos que qualquer vetor em U pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores [c 1 -1 0 ] e [c 0 0 1 ]. Portanto, uma base para U é composta por esses dois vetores.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar duas bases diferentes para U. Já temos uma base:
B1 = [c 1 -1 0 ], [c 0 0 1 ]
Vamos encontrar outra base. Podemos escolher outro vetor que também pertença a U e seja linearmente independente dos anteriores. Por exemplo, vamos escolher [c 1 -1 1 ].
Verificamos se esse vetor é linearmente independente dos vetores de B1. De fato, não podemos escrever [c 1 -1 1 ] como combinação dos outros dois vetores sem que todos os coeficientes sejam zero. Portanto, podemos formar uma segunda base:
B2 = [c 1 -1 1 ], [c 0 0 1 ]
Passo 4
Então, para a parte (a), temos duas bases diferentes para U:
B1 = [c 1 -1 0 ], [c 0 0 1 ]
B2 = [c 1 -1 1 ], [c 0 0 1 ]
Essas bases são diferentes porque os conjuntos de vetores que as formam são distintos, mas ambos ainda geram o mesmo espaço vetorial U.
Passo 5
Vamos para a parte (b): Determinar se a interseção U cap V é um espaço vetorial e justificar a resposta.
Primeiro, precisamos entender o que é V. É dado por:
V = v = [c v1 -v1 2v1 ] ; v1 in R
Isso significa que V é um conjunto de vetores onde o segundo componente é o negativo do primeiro, e o terceiro componente é o dobro do primeiro.
Para encontrar a interseção U cap V, precisamos encontrar os vetores que pertencem a ambos os conjuntos U e V. Ou seja, queremos encontrar os vetores w que satisfazem as duas condições:
w in U: w1 + w2 = 0
w in V: w = [c v1 -v1 2v1 ]
Então, substituindo a forma de V na condição de U:
w1 + w2 = v1 + (-v1) = 0
Isso confirma que qualquer vetor em V já satisfaz a condição para estar em U. Portanto:
U cap V = V
Agora, para saber se V é um espaço vetorial, precisamos verificar se ele satisfaz os axiomas de um espaço vetorial, como fechamento em adição e multiplicação por escalar, presença do vetor nulo, etc. De fato, V é um subespaço de R^3 porque:
O vetor nulo 0 = [c 0 0 0 ] está em V (quando v1 = 0).
Se v1, v2 in V, então v1 + v2 in V.
Se c é um escalar e v in V, então cv in V.
Resposta
a) Duas bases diferentes para o espaço vetorial U são:
B1 = [c1 -1 0], [c0 0 1]
B2 = [c1 -1 1], [c0 0 1]
b) Sim, o conjunto formado pela interseção U cap V é um espaço vetorial, pois ele coincide com V, que satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial.