Seja um espaço vetorial linear, , tal que os vetores geram o plano , com
(a) Forneça duas bases diferentes para o espaço vetorial .
(b) Seja um um subconjunto de , ou seja, , definido como
Diga se o conjunto formado pela interseção é um espaço vetorial. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um espaço vetorial dentro de , onde os vetores satisfazem a condição . O conteúdo aqui envolve espaços vetoriais e bases. Para resolver as partes (a) e (b), vamos precisar saber como encontrar bases de um espaço vetorial e entender o que caracteriza a interseção de dois espaços vetoriais.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): Fornecer duas bases diferentes para o espaço vetorial .
Primeiro, precisamos descrever todos os vetores que pertencem a . Sabemos que para qualquer vetor , a relação deve ser verdadeira. Isso significa que . Então, podemos expressar da seguinte forma:
Aqui, vimos que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Portanto, uma base para é composta por esses dois vetores.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar duas bases diferentes para . Já temos uma base:
Vamos encontrar outra base. Podemos escolher outro vetor que também pertença a e seja linearmente independente dos anteriores. Por exemplo, vamos escolher .
Verificamos se esse vetor é linearmente independente dos vetores de . De fato, não podemos escrever como combinação dos outros dois vetores sem que todos os coeficientes sejam zero. Portanto, podemos formar uma segunda base:

Passo 4

Então, para a parte (a), temos duas bases diferentes para :
Essas bases são diferentes porque os conjuntos de vetores que as formam são distintos, mas ambos ainda geram o mesmo espaço vetorial .

Passo 5

Vamos para a parte (b): Determinar se a interseção é um espaço vetorial e justificar a resposta.
Primeiro, precisamos entender o que é . É dado por:
Isso significa que é um conjunto de vetores onde o segundo componente é o negativo do primeiro, e o terceiro componente é o dobro do primeiro.
Para encontrar a interseção , precisamos encontrar os vetores que pertencem a ambos os conjuntos e . Ou seja, queremos encontrar os vetores que satisfazem as duas condições:
  1. :
  2. :
Então, substituindo a forma de na condição de :
Isso confirma que qualquer vetor em já satisfaz a condição para estar em . Portanto:
Agora, para saber se é um espaço vetorial, precisamos verificar se ele satisfaz os axiomas de um espaço vetorial, como fechamento em adição e multiplicação por escalar, presença do vetor nulo, etc. De fato, é um subespaço de porque:
  • O vetor nulo está em (quando ).
  • Se , então .
  • Se é um escalar e , então .

Resposta

a) Duas bases diferentes para o espaço vetorial são:
b) Sim, o conjunto formado pela interseção é um espaço vetorial, pois ele coincide com , que satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial.

Exercícios relacionados

Seja um espaço vetorial linear, , tal que os vetores geram o plano , com
(a) Forneça duas bases diferentes para o espaço vetorial .
(b) Diga qual a dimensão do espaço vetorial .
© Seja uma transformação linear induzida pela matriz dada abaixo:
Seja um vetor qualquer. Diga se e justifique sua resposta.
(d) Seja um um subconjunto de , ou seja, , definido como
Diga se o conjunto formado pela interseção é um espaço vetorial. Justifique sua resposta.
Seja T o conjunto formado por números
coma, be c e i e j operadores tais que e . Verifique se T é um corpo.
Sejam os vetores abaixo:
Diga se e são linearmente independentes. Em caso afirmativo, defina o espaço vetorial gerado por eles.
Sejam e espaços vetoriais reais. Seja uma transformação linear induzida pela matriz
Pede-se
(a) uma base para ;
(b) uma base para ;
© o espaço imagem de ;
(d) caso tenha inversa pela esquerda, forneça tal que ;
(e) caso tenha inversa pela direita, forneça tal que .