Seja T: R^n R^m uma transformação linear. Mostre que T é injetiva se, e somente se, dim(I(T))=n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear . O que precisamos mostrar é que é injetiva se, e somente se, a dimensão da imagem de (que a gente pode chamar de ) for igual a . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como transformação linear, núcleo, imagem e dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser injetiva. Uma transformação linear é injetiva se, sempre que , então . Em outras palavras, não “colapsa” diferentes vetores em um mesmo vetor na imagem.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o núcleo de , que é o conjunto de todos os vetores em tal que . A dimensão do núcleo, , nos diz quantas “direções” diferentes existem onde manda os vetores para zero.

Passo 4

Sabemos pelo Teorema do Núcleo-Imaginário (ou Teorema da Dimensão) que:
dim(ker(T)) + dim(I(T)) = n
Isso relaciona a dimensão do núcleo e da imagem de com a dimensão do espaço de partida, que é .

Passo 5

Se é injetiva, então o único vetor que manda para zero é o vetor zero. Ou seja, . Portanto, .

Passo 6

Substituindo 0 + dim(I(T)) = n na equação do Passo 4, temos:
Então, .

Passo 7

Agora, vamos pensar no contrário. Se dim(ker(T)) + n = n , então substituindo na equação do Passo 4:
Portanto, , o que significa que , e então é injetiva.

Resposta

Assim, mostramos que é injetiva se, e somente se, .

Exercícios relacionados

Para cada uma das matrizes abaixo
[lll1 & 2 & 4 2 & 4 & 8]
[lll 1 & 2 & 4 2 & 5 & 8 ]
[ccc 0 & -2 & 0 1 & 3 & 5 0 & 4 & -1 ] [cc 1 & 0 0 & -1 ]
(a) Encontre uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz e determine o posto dessa transformação.
(b) Usando o Teorema do Núcleo e Imagem, determine a nulidade da transformação linear associada à matriz.
Seja T: R^2 R^3 a transformação linear dada por
T(x, y)=(x+2 y, y,-x+3 y)
Determine:
(a) a matriz da transformação em relação às bases canônicas
B1=(1,0),(0,1) e B2=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
(b) a matriz da transformação em relação às bases
B1=(1,-1),(2,1) e B2=(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)
Sejam T: R^n R^n uma transformação linear. Mostre que T é injetiva se, e somente se, a imagem por T de uma base de R^n é uma base de R^n.
Classificar os seguintes subconjuntos do IR^3 em LI ou LD:
a) (2,-1,3)