Seja uma transformação linear. Mostre que é injetiva se, e somente se, .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear . O que precisamos mostrar é que é injetiva se, e somente se, a dimensão da imagem de (que a gente pode chamar de ) for igual a . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como transformação linear, núcleo, imagem e dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser injetiva. Uma transformação linear é injetiva se, sempre que , então . Em outras palavras, não “colapsa” diferentes vetores em um mesmo vetor na imagem.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o núcleo de , que é o conjunto de todos os vetores em tal que . A dimensão do núcleo, , nos diz quantas “direções” diferentes existem onde manda os vetores para zero.
Passo 4
Sabemos pelo Teorema do Núcleo-Imaginário (ou Teorema da Dimensão) que:
Isso relaciona a dimensão do núcleo e da imagem de com a dimensão do espaço de partida, que é .
Passo 5
Se é injetiva, então o único vetor que manda para zero é o vetor zero. Ou seja, . Portanto, .
Passo 6
Substituindo na equação do Passo 4, temos:
Então, .
Passo 7
Agora, vamos pensar no contrário. Se , então substituindo na equação do Passo 4:
Portanto, , o que significa que , e então é injetiva.
Resposta
Assim, mostramos que é injetiva se, e somente se, .