Sejam T: R^n R^n uma transformação linear. Mostre que T é injetiva se, e somente se, a imagem por T de uma base de R^n é uma base de R^n.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos uma transformação linear . A gente quer mostrar que ser injetiva é o mesmo que, se a gente aplicar em uma base de , o resultado também forma uma base de . Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformação linear, injetividade, e base de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser injetiva. Uma transformação é injetiva se, sempre que , então . Em termos de matrizes, isso significa que o núcleo de (conjunto de vetores que manda para o zero) contém só o vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é uma base de . Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço . Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.

Passo 4

Vamos primeiro provar a direção “Se é injetiva, então a imagem de uma base por é uma base”.
Assume que é injetiva. Vamos pegar uma base de . Queremos mostrar que também é uma base.
Como é linear e injetiva, a imagem de vetores linearmente independentes continua sendo linearmente independente. Então, são vetores linearmente independentes em , o que significa que eles formam uma base.

Passo 5

Agora, vamos provar a direção inversa: “Se a imagem de uma base por é uma base, então é injetiva”.
Suponha que existe uma base de tal que é também uma base de . Como a imagem é uma base, esses vetores são linearmente independentes.
Se não fosse injetiva, existiria um vetor não nulo no núcleo de . Mas isso implicaria que a imagem de não poderia ter vetores linearmente independentes, o que é uma contradição. Portanto, precisa ser injetiva.

Resposta

Assim, mostramos que é injetiva se e somente se a imagem de uma base de por também forma uma base de .

Exercícios relacionados

Seja T: R^n R^m uma transformação linear. Mostre que T é injetiva se, e somente se, dim(I(T))=n.
Para cada uma das matrizes abaixo
[lll1 & 2 & 4 2 & 4 & 8]
[lll 1 & 2 & 4 2 & 5 & 8 ]
[ccc 0 & -2 & 0 1 & 3 & 5 0 & 4 & -1 ] [cc 1 & 0 0 & -1 ]
(a) Encontre uma base para a imagem da transformação linear associada à matriz e determine o posto dessa transformação.
(b) Usando o Teorema do Núcleo e Imagem, determine a nulidade da transformação linear associada à matriz.
Classificar os seguintes subconjuntos do IR^3 em LI ou LD:
a) (2,-1,3)
Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de M(2,2) :
a) (lla & b c & d) ; b=a+c e d=c