Sejam uma transformação linear. Mostre que é injetiva se, e somente se, a imagem por de uma base de é uma base de .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos uma transformação linear . A gente quer mostrar que ser injetiva é o mesmo que, se a gente aplicar em uma base de , o resultado também forma uma base de . Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformação linear, injetividade, e base de um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser injetiva. Uma transformação é injetiva se, sempre que , então . Em termos de matrizes, isso significa que o núcleo de (conjunto de vetores que manda para o zero) contém só o vetor zero.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é uma base de . Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço . Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.
Passo 4
Vamos primeiro provar a direção “Se é injetiva, então a imagem de uma base por é uma base”.
Assume que é injetiva. Vamos pegar uma base de . Queremos mostrar que também é uma base.
Como é linear e injetiva, a imagem de vetores linearmente independentes continua sendo linearmente independente. Então, são vetores linearmente independentes em , o que significa que eles formam uma base.
Passo 5
Agora, vamos provar a direção inversa: “Se a imagem de uma base por é uma base, então é injetiva”.
Suponha que existe uma base de tal que é também uma base de . Como a imagem é uma base, esses vetores são linearmente independentes.
Se não fosse injetiva, existiria um vetor não nulo no núcleo de . Mas isso implicaria que a imagem de não poderia ter vetores linearmente independentes, o que é uma contradição. Portanto, precisa ser injetiva.
Resposta
Assim, mostramos que é injetiva se e somente se a imagem de uma base de por também forma uma base de .