Classificar os seguintes subconjuntos do IR^3 em LI ou LD:
a) (2,-1,3)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear onde precisamos classificar o subconjunto (2,-1,3) do espaço R^3 como Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). Para isso, vamos precisar entender o que são dependência e independência linear e aplicar esses conceitos ao conjunto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD).
  • Linearmente Independente (LI): Um conjunto de vetores é LI se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Basicamente, eles “não se sobrepõem” em termos de direção.
  • Linearmente Dependente (LD): Um conjunto de vetores é LD se pelo menos um vetor pode ser expresso como uma combinação linear dos outros vetores no conjunto. Isso significa que há redundância ou “sobreposição” nas direções dos vetores.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso conjunto (2,-1,3). Note que o conjunto contém apenas um único vetor.
Nesse caso:
  • Se o vetor não for o vetor nulo (ou seja, todos os componentes são zero), o conjunto é considerado Linearmente Independente (LI). Isso ocorre porque não há outros vetores no conjunto para comparar ou combinar, então não há como o vetor ser dependente.
  • Se o vetor fosse o vetor nulo, então o conjunto seria Linearmente Dependente (LD), pois o vetor nulo pode ser escrito como qualquer combinação linear (multiplicado por zero) de outros vetores.
No nosso caso, o vetor (2,-1,3) não é o vetor nulo, já que pelo menos um de seus componentes é diferente de zero.

Resposta

O subconjunto (2,-1,3) é Linearmente Independente (LI).

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