Classificar os seguintes subconjuntos do
em LI ou LD:
a)
a)
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear onde precisamos classificar o subconjunto
do espaço
como Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). Para isso, vamos precisar entender o que são dependência e independência linear e aplicar esses conceitos ao conjunto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD).
-
Linearmente Independente (LI): Um conjunto de vetores é LI se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Basicamente, eles “não se sobrepõem” em termos de direção.
-
Linearmente Dependente (LD): Um conjunto de vetores é LD se pelo menos um vetor pode ser expresso como uma combinação linear dos outros vetores no conjunto. Isso significa que há redundância ou “sobreposição” nas direções dos vetores.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso conjunto
. Note que o conjunto contém apenas um único vetor.
Nesse caso:
- Se o vetor não for o vetor nulo (ou seja, todos os componentes são zero), o conjunto é considerado Linearmente Independente (LI). Isso ocorre porque não há outros vetores no conjunto para comparar ou combinar, então não há como o vetor ser dependente.
- Se o vetor fosse o vetor nulo, então o conjunto seria Linearmente Dependente (LD), pois o vetor nulo pode ser escrito como qualquer combinação linear (multiplicado por zero) de outros vetores.
No nosso caso, o vetor
não é o vetor nulo, já que pelo menos um de seus componentes é diferente de zero.
Resposta
O subconjunto
é Linearmente Independente (LI).
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Sejam
uma transformação linear. Mostre que
é injetiva se, e somente se, a imagem por
de uma base de
é uma base de
.
Seja
uma transformação linear. Mostre que
é injetiva se, e somente se,
.
Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de
:
a) e
a)
Seja
um espaço euclidiano. Prove as seguintes afirmações:
(e)
(e)