Seja T: R^2 R^2, onde [T]beta^beta=(ll5 & 1 0 & 3): Encontre [T], onde beta é a seguinte base: beta=(1,1),(1,2). Encontre T(x, y).

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma transformação linear [T]beta^beta = 5 & 1 0 & 3 e a sua representação matricial na base é dada por:
Nosso objetivo é encontrar a matriz de na base padrão e a função . Para isso, vamos precisar entender como converter a matriz de uma base diferente para a base padrão usando matrizes de transição.

Passo 2

Primeiro, precisamos construir a matriz de transição P = 1 & 1 1 & 2 da base para a base padrão. A base é formada pelos vetores e . Colocamos esses vetores como colunas na matriz :

Passo 3

Em seguida, vamos encontrar a inversa da matriz de transição P^-1 = 2 & -1 -1 & 1 , denotada por . A inversa é necessária para converter a matriz de da base para a base padrão.
Calculando a inversa de :

Passo 4

A relação entre a matriz de [T] = P [T]beta^beta P^-1 na base [T] = 1 & 1 1 & 2 5 & 1 0 & 3 2 & -1 -1 & 1 e na base padrão é dada por:
Agora, substituímos as matrizes conhecidas nessa equação:

Passo 5

Vamos multiplicar as duas primeiras matrizes primeiro:
1 & 1 1 & 2 5 & 1 0 & 3 = 1 times 5 + 1 times 0 & 1 times 1 + 1 times 3 1 times 5 + 2 times 0 & 1 times 1 + 2 times 3 = 5 & 4 5 & 7

Passo 6

Agora, multiplicamos o resultado pela matriz 5 & 4 5 & 7 2 & -1 -1 & 1 = (5 times 2) + (4 times -1) & (5 times -1) + (4 times 1) (5 times 2) + (7 times -1) & (5 times -1) + (7 times 1) = 6 & -1 3 & 2 :

Passo 7

Agora que temos a matriz de [T] = 6 & -1 3 & 2 na base padrão:
T(x, y) = 6 & -1 3 & 2 x y = 6x - y 3x + 2y
Podemos encontrar multiplicando essa matriz pelo vetor :

Resposta

A matriz de [T] = 6 & -1 3 & 2 na base padrão é:
T(x, y) = (6x - y, 3x + 2y)
E a aplicação de para um vetor é:

Exercícios relacionados

Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(d) 2 b3+b6;
Considere o subconjunto de R^3
U=(x, y, z) in R^3: 2 x+5 y-3 z=0
Responda com justificativa.
(e) SpanRw e U estão em soma direta? Qual é o subespaço soma desses dois?
Calcule a dimensão dos espaços vetoriais descritos abaixo (com justificativa).
(a) M3 times 4(R) matrizes de ordem 3 times 4 como R-espaço vetorial.
Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(i) 25 x18;