Seja
, onde
: Encontre
, onde
é a seguinte base:
. Encontre
.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma transformação linear
e a sua representação matricial na base
é dada por:
Nosso objetivo é encontrar a matriz de
na base padrão
e a função
. Para isso, vamos precisar entender como converter a matriz de uma base diferente para a base padrão usando matrizes de transição.
Passo 2
Primeiro, precisamos construir a matriz de transição
da base
para a base padrão. A base
é formada pelos vetores
e
. Colocamos esses vetores como colunas na matriz
:
Passo 3
Em seguida, vamos encontrar a inversa da matriz de transição
, denotada por
. A inversa é necessária para converter a matriz de
da base
para a base padrão.
Calculando a inversa de
:
Passo 4
A relação entre a matriz de
na base
e na base padrão é dada por:
Agora, substituímos as matrizes conhecidas nessa equação:
Passo 5
Vamos multiplicar as duas primeiras matrizes primeiro:
Passo 6
Agora, multiplicamos o resultado pela matriz
:
Passo 7
Agora que temos a matriz de
na base padrão:
Podemos encontrar
multiplicando essa matriz pelo vetor
:
Resposta
A matriz de
na base padrão é:
E a aplicação de
para um vetor
é:
Exercícios relacionados
Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(d) ;
(d)
Considere o subconjunto de
Responda com justificativa.
(e) e
estão em soma direta? Qual é o subespaço soma desses dois?
(e)
Calcule a dimensão dos espaços vetoriais descritos abaixo (com justificativa).
(a) matrizes de ordem
como
-espaço vetorial.
(a)
Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(i) ;
(i)