Considere o subconjunto de R^3
U=(x, y, z) in R^3: 2 x+5 y-3 z=0
Responda com justificativa.
(e) SpanRw e U estão em soma direta? Qual é o subespaço soma desses dois?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o enunciado nos pede para analisar se o espaço gerado por um vetor w, que chamamos de SpanRw, está em soma direta com o subconjunto U de R^3. Além disso, queremos saber qual é o subespaço soma desses dois conjuntos.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como soma direta de subespaços e espaço gerado por um vetor. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a soma direta de dois subespaços. Dois subespaços A e B de um espaço vetorial V estão em soma direta, denotado por A oplus B, se cada vetor em A + B pode ser escrito unicamente como a soma de um vetor de A e um vetor de B. Isso acontece se e somente se a única solução para a + b = 0, onde a in A e b in B, é a = 0 e b = 0.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é SpanRw. Esse é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como múltiplos escalares de w. Em outras palavras, é uma linha que passa pela origem no espaço R^3.

Passo 4

O próximo passo é verificar se a soma SpanRw + U é direta. Para isso, precisamos ver se a interseção entre SpanRw e U contém apenas o vetor zero.
Ou seja, queremos saber se:
SpanRw cap U = 0

Passo 5

Para determinar isso, precisamos saber qual é o vetor w. No entanto, como o enunciado não forneceu w, vamos considerar que w seja um vetor não nulo qualquer em R^3.
Então, se w não pertence a U, a interseção será apenas o vetor zero, e portanto, a soma será direta. Por outro lado, se w pertence a U, então a interseção contém mais vetores além do zero, e a soma não será direta.

Passo 6

Assumindo que w não está em U, então temos que SpanRw e U estão em soma direta.
Agora, para encontrar o subespaço soma desses dois, simplesmente somamos os dois conjuntos. Isso significa que todo vetor no subespaço soma pode ser escrito como a soma de um vetor em U e um múltiplo de w.

Passo 7

Portanto, o subespaço soma SpanRw + U é um espaço vetorial que combina todas as direções presentes em U e na direção de w. Como U é um plano (pois é definido por uma equação linear em R^3) e SpanRw é uma linha que não está no plano, a soma direta desses dois subespaços será todo o espaço R^3.

Resposta

Sim, SpanRw e U estão em soma direta. O subespaço soma desses dois é o espaço inteiro R^3.

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