Considere o subconjunto de
Responda com justificativa.
(e)
e
estão em soma direta? Qual é o subespaço soma desses dois?
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, o enunciado nos pede para analisar se o espaço gerado por um vetor
, que chamamos de
, está em soma direta com o subconjunto
de
. Além disso, queremos saber qual é o subespaço soma desses dois conjuntos.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como soma direta de subespaços e espaço gerado por um vetor. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a soma direta de dois subespaços. Dois subespaços
e
de um espaço vetorial
estão em soma direta, denotado por
, se cada vetor em
pode ser escrito unicamente como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Isso acontece se e somente se a única solução para
, onde
e
, é
e
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é
. Esse é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como múltiplos escalares de
. Em outras palavras, é uma linha que passa pela origem no espaço
.
Passo 4
O próximo passo é verificar se a soma
é direta. Para isso, precisamos ver se a interseção entre
e
contém apenas o vetor zero.
Ou seja, queremos saber se:
Passo 5
Para determinar isso, precisamos saber qual é o vetor
. No entanto, como o enunciado não forneceu
, vamos considerar que
seja um vetor não nulo qualquer em
.
Então, se
não pertence a
, a interseção será apenas o vetor zero, e portanto, a soma será direta. Por outro lado, se
pertence a
, então a interseção contém mais vetores além do zero, e a soma não será direta.
Passo 6
Assumindo que
não está em
, então temos que
e
estão em soma direta.
Agora, para encontrar o subespaço soma desses dois, simplesmente somamos os dois conjuntos. Isso significa que todo vetor no subespaço soma pode ser escrito como a soma de um vetor em
e um múltiplo de
.
Passo 7
Portanto, o subespaço soma
é um espaço vetorial que combina todas as direções presentes em
e na direção de
. Como
é um plano (pois é definido por uma equação linear em
) e
é uma linha que não está no plano, a soma direta desses dois subespaços será todo o espaço
.
Resposta
Sim,
e
estão em soma direta. O subespaço soma desses dois é o espaço inteiro
.
Exercícios relacionados
Seja
a transformação linear dada por (derivadas): Encontre a matriz
que representa
na base
.
Com relação a transformação linear
dada por
Responda: Determine
e
Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(d) ;
(d)
Seja
, onde
: Encontre
, onde
é a seguinte base:
. Encontre
.