Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear cuja representação matricial é
[lll 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 ]
Determine o polinômio característico T;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma transformação linear com uma matriz associada. Nosso objetivo é encontrar o polinômio característico dessa transformação. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente o cálculo de determinantes e polinômios característicos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o polinômio característico. Ele é dado por I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , onde xI - A = x & 0 & -1 0 & x-1 & 0 -1 & 0 & x é a matriz identidade e é a matriz da transformação . Então, vamos montar a matriz .
A matriz identidade 3x3 é:
Subtraindo a matriz da identidade multiplicada por , temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(xI - A) = x cdot x-1 & 0 0 & x - 0 cdot 0 & -1 -1 & x + (-1) cdot 0 & x-1 -1 & 0 . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão por cofatores para facilitar.

Passo 4

Calculando os menores:
= x cdot ((x-1)(x) - 0 cdot 0) - 0 + (-1) cdot (0 cdot 0 - (-1)(x-1))
= x(x^2 - x) + (x-1)
= x^3 - x^2 + x - 1

Passo 5

Vamos simplificar o polinômio:
x^3 - x^2 + x - 1 = (x^3 - x^2) + (x - 1) = x^2(x - 1) + (x - 1) = (x^2 + 1)(x - 1)
Mas, na verdade, existe uma fatoração melhor:
x^3 - x^2 - x + 1 = (x - 1)^2 (x + 1)

Resposta

O polinômio característico de é .

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Seja V um espaço euclidiano. Prove as seguintes afirmações:
(e) |lang<= u, vrang<=| <=|u||v|, forall u, v in V
Calcule a distância entre os pontos A e B onde
(a) A=(2,0,-2) e B=(0,2,-2)
Calcule a distância entre os pontos A e B onde
(b) A=(0,5,1) e B=(2,1,3)