Seja um espaço euclidiano. Prove as seguintes afirmações:
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, num espaço euclidiano , para quaisquer vetores e , vale que:
Esse é o famoso Desigualdade de Cauchy-Schwarz, que é super importante na álgebra linear e análise. Para provar isso, vamos precisar entender conceitos como produto interno () e norma ().
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor é definida como:
E o produto interno basicamente mede “quanto” dois vetores e estão alinhados.
Passo 3
Agora, para provar a desigualdade, vamos considerar um vetor linearmente dependente. Vamos olhar para o vetor , onde é um escalar que vamos determinar.
Queremos que seja ortogonal a , ou seja, . Então:
Isso nos dá:
Passo 4
Resolvendo para :
Então, substituindo de volta no vetor :
Passo 5
Como é um vetor, sua norma deve ser não negativa. Então:
Calculando :
Passo 6
Rearranjando a desigualdade:
O que leva a:
Passo 7
Finalmente, tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Resposta
Portanto, mostramos que para quaisquer vetores e em um espaço euclidiano .