Seja V um espaço euclidiano. Prove as seguintes afirmações:
(e) |lang<= u, vrang<=| <=|u||v|, forall u, v in V

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, num espaço euclidiano |lang<= u, v rang<=| <= |u| |v| , para quaisquer vetores e , vale que:
Esse é o famoso Desigualdade de Cauchy-Schwarz, que é super importante na álgebra linear e análise. Para provar isso, vamos precisar entender conceitos como produto interno ( ) e norma ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor |u| = raizlang<= u, u rang<= é definida como:
E o produto interno basicamente mede “quanto” dois vetores e estão alinhados.

Passo 3

Agora, para provar a desigualdade, vamos considerar um vetor linearmente dependente. Vamos olhar para o vetor lang<= u - lambda v, v rang<= = 0 , onde lang<= u, v rang<= - lambda lang<= v, v rang<= = 0 é um escalar que vamos determinar.
Queremos que seja ortogonal a , ou seja, . Então:
Isso nos dá:

Passo 4

Resolvendo para lambda = lang<= u, v rang<=lang<= v, v rang<= :
w = u - lang<= u, v rang<=lang<= v, v rang<= v
Então, substituindo de volta no vetor :

Passo 5

Como |w|^2 >= 0 é um vetor, sua norma deve ser não negativa. Então:
|u|^2 - 2 lang<= u, v rang<=^2lang<= v, v rang<= + lang<= u, v rang<=^2lang<= v, v rang<=^2 lang<= v, v rang<= = |u|^2 - lang<= u, v rang<=^2|v|^2 >= 0
Calculando :

Passo 6

Rearranjando a desigualdade:
|u|^2 |v|^2 - lang<= u, v rang<=^2 >= 0
O que leva a:
lang<= u, v rang<=^2 <= |u|^2 |v|^2

Passo 7

Finalmente, tirando a raiz quadrada dos dois lados:
|lang<= u, v rang<=| <= |u| |v|

Resposta

Portanto, mostramos que para quaisquer vetores e em um espaço euclidiano .

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